Egy y változó függőségét egy x változótól, amelyben minden x értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelöléshez használja az y=f(x) jelölést. Mindegyik függvénynek számos alapvető tulajdonsága van, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

A paritás és a periodicitás tulajdonságai

Vizsgáljuk meg részletesebben a paritás és a periodicitás tulajdonságait az alapvető trigonometrikus függvények példáján: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Az y=f(x) függvényt akkor is meghívjuk, ha teljesíti a következő két feltételt:

2. A függvény definíciós tartományába tartozó x pontban lévő függvény értékének meg kell egyeznie a függvény -x pontbeli értékével. Vagyis bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = f(-x).

Ha egy páros függvény grafikonját ábrázolja, az szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

Például az y=cos(x) trigonometrikus függvény páros.

A páratlanság és a periodicitás tulajdonságai

Az y=f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha teljesíti a következő két feltételt:

1. Egy adott függvény definíciós tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis ha valamelyik a pont a függvény definíciós tartományába tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is a definíció tartományába kell tartoznia. az adott függvénytől.

2. Bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = -f(x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O ponthoz - a koordináták origójához.

Például az y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) trigonometrikus függvények páratlanok.

A trigonometrikus függvények periodikussága

Az y=f (x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha van egy bizonyos T!=0 szám (amelyet az y=f (x) függvény periódusának nevezünk), így a definíciós tartományhoz tartozó x bármely értékére. a függvény, az x + T és az x-T számok is a függvény definíciós tartományába tartoznak és az f(x)=f(x+T)=f(x-T) egyenlőség teljesül.

Meg kell érteni, hogy ha T a függvény periódusa, akkor a k*T szám, ahol k bármely nullától eltérő egész szám, egyben a függvény periódusa is. A fentiek alapján azt találjuk, hogy bármely periodikus függvénynek végtelen sok periódusa van. A beszélgetés leggyakrabban egy funkció legkisebb időszakáról szól.

A sin(x) és cos(x) trigonometrikus függvények periodikusak, a legkisebb periódus 2*π.

Egy ponton középre állítva A.
α - radiánban kifejezett szög.

Meghatározás
Szinusz (sin α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a hypotenus hosszára |AC|.

Koszinusz (cos α) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a hypotenus hosszára |AC|.

Elfogadott jelölések

;
;
.

;
;
.

A szinuszfüggvény grafikonja, y = sin x

A koszinusz függvény grafikonja, y = cos x

A szinusz és a koszinusz tulajdonságai

Periodikaság

Függvények y = bűn xés y = cos x periodikus periódussal 2π.

Paritás

A szinuszfüggvény páratlan. A koszinusz függvény páros.

Definíció és értékek tartománya, szélsőség, növekedés, csökkenés

A szinusz és koszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak, azaz minden x-re (lásd a folytonosság bizonyítását). Főbb tulajdonságaikat a táblázat mutatja be (n - egész).

	y = bűn x	y = cos x
Hatály és folytonosság	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Értékek tartománya	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Növekvő
Csökkenő
Maxima, y ​​= 1
Minimum, y = - 1
Nullák, y = 0
Metszéspontok az ordináta tengellyel, x = 0	y = 0	y = 1

Alapképletek

A szinusz és a koszinusz négyzetösszege

Szinusz és koszinusz képlete összegből és különbségből

;
;

Képletek szinuszok és koszinuszok szorzatára

Összeg és különbség képletek

Szinusz kifejezése koszinuszon keresztül

;
;
;
.

Koszinusz kifejezése szinuszon keresztül

;
;
;
.

Kifejezés érintőn keresztül

; .

Mikor van nálunk:
; .

Nál nél :
; .

Szinuszok és koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata

Ez a táblázat a szinuszok és koszinuszok értékeit mutatja az argumentum bizonyos értékeihez.

Kifejezések összetett változókon keresztül

;

Euler-képlet

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

;
;

Származékok

; . Képletek származtatása >>>

N-edrendű származékai:
{ -∞ < x < +∞ }

Szekáns, koszekáns

Inverz függvények

A szinusz és a koszinusz inverz függvénye arszinusz, illetve arkoszinusz.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Cél: a tanulók tudásának összefoglalása és rendszerezése a „Funkciók periodicitása” témában; fejleszteni kell a periodikus függvény tulajdonságainak alkalmazásában, a függvény legkisebb pozitív periódusának megtalálásában, a periodikus függvények grafikonjainak megalkotásában; felkelti az érdeklődést a matematika tanulmányozása iránt; fejleszteni a megfigyelést és a pontosságot.

Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor, feladatkártyák, diák, órák, díszasztalok, népi mesterségek elemei

"A matematika az, amit az emberek a természet és önmaguk irányítására használnak."
A.N. Kolmogorov

Az órák alatt

I. Szervezési szakasz.

A tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése. Ismertesse az óra témáját és céljait.

II. Házi feladat ellenőrzése.

A házi feladatokat minták segítségével ellenőrizzük, és megbeszéljük a legnehezebb pontokat.

III. Az ismeretek általánosítása, rendszerezése.

1. Szóbeli frontális munka.

Elméleti kérdések.

1) Adja meg a függvény periódusának meghatározását!
2) Nevezze meg az y=sin(x), y=cos(x) függvények legkisebb pozitív periódusát!
3). Mi az y=tg(x), y=ctg(x) függvények legkisebb pozitív periódusa
4) Egy kör segítségével igazolja az összefüggések helyességét:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Hogyan ábrázoljunk periodikus függvényt?

Orális gyakorlatok.

1) Igazolja a következő összefüggéseket!

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Bizonyítsuk be, hogy az 540º-os szög az y= cos(2x) függvény egyik periódusa.

3. Bizonyítsuk be, hogy a 360º-os szög az y=tg(x) függvény egyik periódusa.

4. Alakítsa át ezeket a kifejezéseket úgy, hogy a benne foglalt szögek abszolút értékben ne haladják meg a 90º-ot.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Hol találkoztál a PERIODUS, PERIODICITY szavakkal?

A hallgatók válaszai: A zenében egy korszak egy olyan szerkezet, amelyben egy többé-kevésbé teljes zenei gondolat jelenik meg. A geológiai időszak egy korszak része, és 35 és 90 millió év közötti időszakokra oszlik.

Radioaktív anyag felezési ideje. Periodikus tört. A folyóiratok olyan nyomtatott kiadványok, amelyek szigorúan meghatározott határidőn belül jelennek meg. Mengyelejev periodikus rendszere.

6. Az ábrákon a periodikus függvények grafikonjainak részei láthatók. Határozza meg a függvény periódusát! Határozza meg a függvény periódusát!

Válasz: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Hol találkozott életében ismétlődő elemek felépítésével?

Tanulói válasz: Díszelemek, népművészet.

IV. Kollektív problémamegoldás.

(Feladatok megoldása diákon.)

Tekintsük a függvény periodicitás vizsgálatának egyik módját.

Ezzel a módszerrel elkerülhetőek azok a nehézségek, amelyek annak bizonyításával járnak, hogy egy adott periódus a legkisebb, és szükségtelenné válik a periódusos függvények aritmetikai műveleteivel és egy komplex függvény periodicitásával kapcsolatos kérdések érintése. Az érvelés csak egy periodikus függvény definícióján és a következő tényen alapul: ha T a függvény periódusa, akkor nT(n?0) a periódusa.

1. feladat Keresse meg az f(x)=1+3(x+q>5) függvény legkisebb pozitív periódusát!

Megoldás: Tegyük fel, hogy ennek a függvénynek a T-periódusa. Ekkor f(x+T)=f(x) minden x € D(f) esetén, azaz.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Tegyük fel x=-0,25-öt kapunk

(T)=0<=>T=n, n € Z

Azt kaptuk, hogy a kérdéses függvény összes periódusa (ha létezik) az egész számok közé tartozik. Válasszuk ki ezek közül a számok közül a legkisebb pozitív számot. Ez 1 . Nézzük meg, hogy valóban időszak lesz-e 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Mivel (T+1)=(T) bármely T esetén, akkor f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), azaz. 1 – f időszak. Mivel az 1 a legkisebb pozitív egész szám, akkor T=1.

2. feladat Mutassuk meg, hogy az f(x)=cos 2 (x) függvény periodikus, és keressük meg a főperiódusát.

3. feladat Keresse meg a függvény fő periódusát!

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Tegyük fel a függvény T-periódusát, akkor bármelyikre x az arány érvényes

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ha x=0, akkor

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ha x=-T, akkor

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Összeadva a következőket kapjuk:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Az összes „gyanús” szám közül válasszuk ki a legkisebb pozitív számot a periódushoz, és ellenőrizzük, hogy f-nek van-e pontja. Ez a szám

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Ez azt jelenti, hogy ez az f függvény fő periódusa.

4. feladat. Ellenőrizzük, hogy az f(x)=sin(x) függvény periodikus-e

Legyen T az f függvény periódusa. Akkor bármelyik x-hez

sin|x+Т|=sin|x|

Ha x=0, akkor sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Tegyük fel. Hogy néhány n esetén a π n szám a periódus

a vizsgált függvény π n>0. Ekkor sin|π n+x|=sin|x|

Ez azt jelenti, hogy n-nek páros és páratlan is kell lennie, de ez lehetetlen. Ezért ez a függvény nem periodikus.

5. feladat Ellenőrizze, hogy a függvény periodikus-e

f(x)=

Legyen T ekkor f periódusa

, tehát sinT=0, Т=π n, n € Z. Tegyük fel, hogy valamilyen n esetén a π n szám valóban ennek a függvénynek a periódusa. Ekkor a 2π n szám lesz a periódus

Mivel a számlálók egyenlőek, ezért a nevezőik is egyenlőek

Ez azt jelenti, hogy az f függvény nem periodikus.

Csoportokban dolgoznak.

Feladatok az 1. csoport számára.

A 2. csoport feladatai.

Ellenőrizze, hogy az f függvény periodikus-e, és keresse meg az alapperiódusát (ha létezik).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

A 3. csoport feladatai.

Munkájuk végén a csoportok bemutatják megoldásaikat.

VI. Összegezve a tanulságot.

Visszaverődés.

A tanár rajzokkal ellátott kártyákat ad a tanulóknak, és megkéri őket, hogy az első rajz egy részét színezzék ki annak megfelelően, hogy szerintük mennyire elsajátították a függvény periodicitás vizsgálatának módszereit, a második rajz egy részét pedig - saját sajátosságaiknak megfelelően. hozzájárulás a leckében végzett munkához.

VII. Házi feladat

1). Ellenőrizze, hogy az f függvény periodikus-e, és keresse meg az alapperiódusát (ha létezik)

b). f(x)=x2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Az y=f(x) függvénynek T=2 és f(x)=x 2 +2x periódusa van x € [-2; 0]. Keresse meg a -2f(-3)-4f(3.5) kifejezés értékét

Irodalom/

1. Mordkovich A.G. Algebra és az elemzés kezdetei mélyreható tanulmányozással.
2. Matematika. Felkészülés az egységes államvizsgára. Szerk. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra és kezdeti elemzés 10-11.

Alapfogalmak

Először emlékezzünk a definícióra páros, páratlan és periodikus függvények.

2. definíció

A páros függvény olyan függvény, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor:

3. definíció

Egy függvény, amely bizonyos szabályos időközönként megismétli az értékeit:

T -- a függvény periódusa.

Páros és páratlan trigonometrikus függvények

Tekintsük a következő ábrát (1. ábra):

1. kép

Itt a $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ és a $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ egységnyi hosszúságú vektorok, amelyek szimmetrikusak a $Ox$ tengelyre.

Nyilvánvaló, hogy ezeknek a vektoroknak a koordinátáit a következő összefüggések kapcsolják össze:

Mivel a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei meghatározhatók az egységnyi trigonometrikus kör segítségével, így azt kapjuk, hogy a szinuszfüggvény páratlan, a koszinusz függvény pedig páros, azaz:

A trigonometrikus függvények periodikussága

Tekintsük a következő ábrát (2. ábra).

2. ábra.

Itt a $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ egységnyi hosszúságú vektor.

Csináljunk egy teljes forradalmat a $\overrightarrow(OA)$ vektorral. Azaz forgassuk el ezt a vektort $2\pi $ radiánnal. Ezt követően a vektor teljesen visszatér eredeti helyzetébe.

Mivel a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényei meghatározhatók az egységnyi trigonometrikus kör segítségével, így azt kapjuk, hogy

Vagyis a szinusz és a koszinusz függvények periodikus függvények, amelyeknek a legkisebb periódusa $T=2\pi $.

Nézzük most az érintő és a kotangens függvényét. Mivel $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, akkor

Mivel $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, akkor

Példák trigonometrikus függvények paritása, páratlansága és periodicitása használatával kapcsolatos problémákra

1. példa

Bizonyítsa be a következő állításokat:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Mivel az érintő egy periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Mivel a koszinusz egy páros és periodikus függvény, minimum $2\pi $ periódussal, ezt kapjuk

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

Mivel a szinusz egy páratlan és periodikus függvény, amelynek minimális periódusa $(360)^0$, így kapjuk

az egyenlőtlenségek rendszerének kielégítése:

b) Tekintsünk a számegyenesen egy olyan számhalmazt, amely kielégíti az egyenlőtlenségrendszert:

Határozza meg a halmazt alkotó szakaszok hosszának összegét.

7. § A legegyszerűbb képletek

A 3. §-ban a következő képletet állítottuk fel az α hegyesszögekre:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Ugyanaz a képlet			amikor,
				amikor α bármely			tulajdonképpen
				le, legyen M egy pont a trigonometrián
				megfelelő kör
				α szám (7.1. ábra). Akkor		M-nek van társ-
				ordináták x = cos α, y
				Azonban minden pont (x; y) fekszik
				egységsugarú kör középponttal
				trome az eredetnél, kielégítő
				kielégíti az x2 + y2 egyenletet		1, honnan
				cos2 α + sin2 α = 1, szükség szerint.

Tehát a kör egyenletéből következik a cos2 α + sin2 α = 1 képlet. Úgy tűnhet, hogy ezzel új bizonyítást adtunk ennek a hegyesszög-képletnek (összehasonlítva a 3. §-ban megadottal, ahol a Pitagorasz-tételt használtuk). A különbség azonban pusztán külső: az x2 + y2 = 1 kör egyenletének levezetésénél ugyanazt a Pitagorasz-tételt használjuk.

A hegyesszögekre például más képleteket is kaptunk

A szimbólum szerint a jobb oldal mindig nem negatív, míg a bal oldal lehet negatív is. Ahhoz, hogy a képlet minden α-ra igaz legyen, négyzetre kell emelni. A kapott egyenlőség: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Bizonyítsuk be, hogy ez a képlet minden α:1-re igaz

1/(1 + tan2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Probléma 7.1. Vezesse le az alábbi képleteket a definíciókból és a sin2 α + cos2 α = 1 képletből (néhányat már bizonyítottunk):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

bűn2

Ezek a képletek lehetővé teszik, hogy egy adott szám egyik trigonometrikus függvényének értékének ismeretében szinte az összes többit megtaláljuk.

új Tudjuk például, hogy sin x = 1/2. Ekkor cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, tehát cos x vagy 3/2, vagy − 3/2. Ahhoz, hogy megtudjuk, e két szám közül melyik cos x egyenlő, további információkra van szükség.

Probléma 7.2. Mutassuk meg példákkal, hogy mindkét fenti eset lehetséges.

7.3. probléma. a) Legyen tan x = −1. Keresse meg a sin x-et. Hány válasz van erre a problémára?

b) Tudjuk az a) pont feltételein túl, hogy sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Amelyre tan α van definiálva, azaz cos α 6= 0.

Probléma 7.4. Legyen sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Keresse meg tg x-et.

7.5. probléma. Legyen tan x = 3, cos x > sin x. Keresse meg cos x, sin x.

7.6. probléma. Legyen tg x = 3/5. Keresse meg sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Probléma 7.7. Bizonyítsd be az azonosságokat:

tan α − sin α

c) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Probléma 7.8. Egyszerűsítse a kifejezéseket:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

8. § A trigonometrikus függvények periódusai

Az x, x+2π, x−2π számok a trigonometrikus kör ugyanazon pontjának felelnek meg (ha egy plusz kört sétálsz a trigonometrikus körön, akkor visszatérsz oda, ahol voltál). Ez a következő azonosságokat jelenti, amelyekről az 5. §-ban már szó volt:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Ezekkel az identitásokkal kapcsolatban már használtuk az „időszak” kifejezést. Adjunk most pontos definíciókat.

Meghatározás. A T 6= 0 számot az f függvény periódusának nevezzük, ha minden x-re igaz az f(x − T) = f(x + T) = f(x) egyenlőség (feltételezzük, hogy x + T és x) − T szerepelnek a függvény definíciós tartományában, ha benne van x). Egy függvényt periodikusnak nevezünk, ha van periódusa (legalább egy).

Az oszcillációs folyamatok leírásánál természetesen periodikus függvények merülnek fel. Az egyik ilyen folyamatot már tárgyaltuk az 5. §-ban. Íme, további példák:

1) Legyen ϕ = ϕ(t) az óra lengőingájának a függőlegestől való eltérési szöge t pillanatban. Ekkor ϕ t periodikus függvénye.

2) A feszültség („potenciálkülönbség”, ahogy egy fizikus mondaná) egy váltakozó áramú aljzat két aljzata között,

hogy az idő függvényének tekintjük-e, az periodikus függvény1.

3) Halljuk a zenei hangot. Ekkor a légnyomás egy adott pontban az idő periodikus függvénye.

Ha egy függvénynek van T periódusa, akkor ennek a függvénynek a periódusai is a −T, 2T, −2T számok lesznek. . . - egyszóval minden nT szám, ahol n olyan egész szám, amely nem egyenlő nullával. Valóban, nézzük meg például, hogy f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Meghatározás. Egy f függvény legkisebb pozitív periódusa - a szavak szó szerinti jelentésével összhangban - egy pozitív T szám, amelyben T egy f periódusa, és egyetlen T-nél kisebb pozitív szám sem f periódusa.

Egy periodikus függvénynek nem kell a legkisebb pozitív periódussal rendelkeznie (például egy állandó függvénynek tetszőleges számú periódusa van, ezért nincs a legkisebb pozitív periódusa). Példákat is hozhatunk olyan nem állandó periodikus függvényekre, amelyeknek nincs a legkisebb pozitív periódusuk. Ennek ellenére a legtöbb érdekes esetben a periodikus függvények legkisebb pozitív periódusa létezik.

1 Amikor azt mondják, hogy „a hálózat feszültsége 220 volt”, az „effektív effektív értékre” gondolunk, amelyről a 21. §-ban fogunk beszélni. Maga a feszültség folyamatosan változik.

Rizs. 8.1. Érintő és kotangens periódusa.

Különösen a szinusz és a koszinusz legkisebb pozitív periódusa a 2π. Bizonyítsuk be ezt például az y = sin x függvényre. Tegyük fel, hogy ellentétben azzal, amit állítunk, a szinusznak olyan T periódusa van, hogy 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Az oszcillációkat leíró függvény legkisebb pozitív periódusát (mint az 1–3. példákban) egyszerűen e rezgések periódusának nevezzük.

Mivel 2π a szinusz és a koszinusz periódusa, ez lesz az érintő és a kotangens periódusa is. Ezeknél a függvényeknél azonban nem 2π a legkisebb periódus: az érintő és a kotangens legkisebb pozitív periódusa π lesz. Valójában az x és x + π számoknak megfelelő pontok a trigonometrikus körön átlósan ellentétesek: x ponttól x + 2π pontig a kör felével pontosan megegyező π távolságot kell megtenni. Ha most az érintő és a kotangens definícióját használjuk az érintők és kotangensek tengelyével, akkor nyilvánvalóvá válnak a tg(x + π) = tan x és ctg(x + π) = ctg x egyenlőségek (8.1. ábra). Könnyen ellenőrizhető (a feladatokban ezt javasoljuk), hogy π valóban az érintő és a kotangens legkisebb pozitív periódusa.

Egy megjegyzés a terminológiáról. A „függvény periódusa” szavakat gyakran a „legkisebb pozitív időszak” jelentésére használják. Tehát ha egy vizsgán azt kérdezik tőled: „100π a szinuszfüggvény periódusa?”, ne rohanjon a válaszadásra, hanem tisztázza, hogy a legkisebb pozitív periódusra gondol, vagy csak az egyik periódusra.

A trigonometrikus függvények tipikus példái a periodikus függvényeknek: bármely "nem túl rossz" periodikus függvény bizonyos értelemben kifejezhető trigonometrikus függvényekkel.

Probléma 8.1. Keresse meg a függvények legkisebb pozitív periódusait:

				c) y = cos πx;

d) y = cos x + cos(1,01x).

Probléma 8.2. A váltóáramú hálózatban a feszültség időfüggőségét az U = U0 sin ωt képlet adja meg (itt t az idő, U a feszültség, U0 és ω állandók). A váltakozó áram frekvenciája 50 Hertz (ez azt jelenti, hogy a feszültség másodpercenként 50 oszcillációt okoz).

a) Határozzuk meg ω-t, feltételezve, hogy t másodpercben mérjük;

b) Határozza meg U (legkisebb pozitív) periódusát t függvényében!

8.3. probléma. a) Bizonyítsuk be, hogy a koszinusz legkisebb pozitív periódusa 2π;

b) Igazoljuk, hogy az érintő legkisebb pozitív periódusa egyenlő π-vel.

8.4. probléma. Legyen az f függvény legkisebb pozitív periódusa T. Bizonyítsuk be, hogy az összes többi periódusa nT alakú néhány n egész számra.

8.5. probléma. Bizonyítsuk be, hogy a következő függvények nem periodikusak!