Ahogy fentebb említettük, megegyeztünk abban, hogy az erővonalakat olyan sűrűséggel rajzolják meg, hogy a terület vonalaira merőleges felületegységet átszúró vonalak száma egyenlő legyen a vektor modulusával. Ekkor a feszültségvonalak mintázatából nem csak az irányt, hanem a vektor nagyságát is meg lehet ítélni a tér különböző pontjain.

Tekintsük egy stacionárius pozitív ponttöltés erővonalait. Ezek radiális vonalak, amelyek a töltéstől nyúlnak ki és a végtelenben végződnek. Hajtsuk végre N olyan sorokat. Aztán távolról r a töltésből egy sugarú gömb egységnyi felületét metsző erővonalak száma r, egyenlő lesz. Ez az érték arányos egy távolsági ponttöltés térerősségével r. Szám N mindig választhat úgy, hogy az egyenlőség érvényesüljön

ahol . Mivel az erővonalak folytonosak, ugyanannyi erővonal metszi a töltést körülvevő bármilyen alakú zárt felületet. q. A töltés előjelétől függően az erővonalak vagy belépnek erre a zárt felületre, vagy kimennek. Ha a kimenő sorok számát pozitívnak, a bejövő sorok számát negatívnak tekintjük, akkor elhagyhatjuk a modulus előjelet és írhatjuk:

.

(1.4)

Feszültségvektor áramlás. Helyezzünk el egy elemi betét területtel. A területnek olyan kicsinek kell lennie, hogy az elektromos térerősség minden pontján azonosnak tekinthető. Rajzoljunk egy normált a helyhez (1.17. ábra). Ennek a normálisnak az irányát tetszőlegesen választjuk meg. A normál szöget zár be a vektorral. Az elektromos térerősség vektorának egy kiválasztott felületen keresztüli áramlása a felület és az elektromos térerősség vektorának a terület normáljára vetítésének szorzata:

ahol a vektor vetülete a hely normáljára.

Mivel az egyetlen területet átszúró mezővonalak száma megegyezik az intenzitásvektor modulusával a kiválasztott terület közelében, az intenzitásvektor felületen áthaladó áramlása arányos az ezen a felületen áthaladó mezővonalak számával. Ezért általános esetben a térerősség vektor áramlása a területen vizuálisan értelmezhető az ezen a területen áthatoló térvonalak számával egyenlő értékként:

.

(1.5)

Vegyük észre, hogy a normál irányának megválasztása feltételes, a másik irányba is irányítható. Következésképpen az áramlás algebrai mennyiség: az áramlás előjele nemcsak a mező konfigurációjától függ, hanem a normálvektor és az intenzitásvektor relatív orientációjától is. Ha ez a két vektor hegyesszöget alkot, a fluxus pozitív, ha tompa, a fluxus negatív. Zárt felület esetén szokás a normált az e felület által lefedett területen kívülre vinni, vagyis a külső normált választani.

Ha a mező inhomogén és a felület tetszőleges, akkor az áramlást a következőképpen határozzuk meg. A teljes felületet kis területű elemekre kell osztani, ki kell számítani az egyes elemeken áthaladó feszültségfluxusokat, majd összegezni kell az összes elem fluxusát:

Így a térerősség jellemzi az elektromos teret a tér egy pontjában. Az intenzitásáramlás nem a térerősség értékétől függ egy adott pontban, hanem attól, hogy a tér eloszlik egy adott terület felületén.

Az elektromos térerővonalak csak pozitív töltéssel kezdődhetnek és negatív töltéseken érhetnek véget. Nem kezdődhetnek és nem érhetnek véget a térben. Ezért, ha egy bizonyos zárt térfogaton belül nincs elektromos töltés, akkor az ebbe a térfogatba belépő és kilépő vonalak teljes számának nullának kell lennie. Ha több vonal hagyja el a térfogatot, mint amennyi belép abba, akkor pozitív töltés van a köteten belül; ha több vonal jön be, mint amennyi kijön, akkor belül negatív töltésnek kell lennie. Ha a térfogatban a teljes töltés egyenlő nullával, vagy nincs benne elektromos töltés, a térvonalak áthatolnak rajta, és a teljes fluxus nulla.

Ezek az egyszerű megfontolások nem függenek attól, hogy az elektromos töltés hogyan oszlik el a térfogaton belül. Elhelyezhető a kötet közepén vagy a térfogatot határoló felület közelében. Egy kötet több pozitív és negatív töltést tartalmazhat, amelyek a térfogaton belül bármilyen módon eloszlanak. Csak a teljes töltés határozza meg a bejövő vagy kimenő feszültségvezetékek számát.

Amint az (1.4) és (1.5) pontból látható, az elektromos térerősség vektorának áramlása a töltést körülvevő tetszőleges zárt felületen keresztül q, egyenlő . Ha a felület belsejében van n töltések, akkor a térszuperpozíció elve szerint a teljes fluxus az összes töltés térerősség-fluxusának összege lesz és egyenlő lesz -vel, ahol ebben az esetben a zárt töltés által lefedett összes töltés algebrai összegét értjük. felület.

Gauss tétele. Gauss elsőként fedezte fel azt az egyszerű tényt, hogy az elektromos térerősség vektorának tetszőleges zárt felületen keresztüli áramlását össze kell kapcsolni a térfogaton belüli teljes töltéssel:

Gauss Karl Friedrich (1777-1855)

Nagy német matematikus, fizikus és csillagász, a fizika abszolút mértékegységrendszerének megalkotója. Kidolgozta az elektrosztatikus potenciál elméletét, és bebizonyította az elektrosztatika legfontosabb tételét (Gauss-tétel). Elméletet alkotott összetett optikai rendszerek képalkotására. Az elsők között jutott eszébe a nem-euklideszi geometria létezésének lehetőségéről. Ezenkívül Gauss a matematika szinte minden ágához kiemelkedően hozzájárult.

Az utolsó összefüggés a Gauss-tétel az elektromos térre: az intenzitásvektor tetszőleges zárt felületen áthaladó fluxusa arányos a felületen belüli töltések algebrai összegével, az arányossági együttható az egységrendszer megválasztásától függ.

Meg kell jegyezni, hogy Gauss tételét a Coulomb-törvény és a szuperpozíciós elv eredményeként kapjuk. Ha az elektromos térerősség nem változna fordított arányban a távolság négyzetével, akkor a tétel érvénytelen lenne. Ezért a Gauss-tétel minden olyan mezőre alkalmazható, amelyben a fordított négyzettörvény és a szuperpozíció elve szigorúan teljesül, például a gravitációs térre. A gravitációs tér esetében a teret létrehozó töltések szerepét a testek tömegei töltik be. A gravitációs erővonalak áramlása egy zárt felületen arányos a felületen belüli teljes tömeggel.

Töltött sík térerőssége. Alkalmazzuk Gauss tételét egy végtelen töltött sík elektromos térerősségének meghatározására. Ha a sík végtelen és egyenletes töltésű, azaz a felületi töltéssűrűség bármely helyen azonos, akkor az elektromos térerősség vonalai bármely pontban erre a síkra merőlegesek. Ennek bemutatására a feszültségvektor szuperpozíciós elvét használjuk. Válasszunk ki két elemi szakaszt a síkon, amelyek pontnak tekinthetők a ponthoz A, amelyben meg kell határozni a térerőt. ábrából látható. 1.18, a kapott feszültségvektor a síkra merőleges lesz. Mivel a sík tetszőleges megfigyelési ponthoz végtelen számú ilyen metszetpárra osztható, nyilvánvaló, hogy a töltött sík térvonalai merőlegesek a síkra, és a tér egyenletes (1.19. ábra). Ha ez nem így lenne, akkor a sík önmaga mentén mozogva a tér minden pontjában megváltozna a mező, de ez ellentmond a töltött rendszer szimmetriájának (a sík végtelen). Pozitív töltésű sík esetén az erővonalak a síkban kezdődnek és a végtelenben végződnek, míg a negatív töltésű síknál az erővonalak a végtelenben kezdődnek és a síkba lépnek.

Rizs. 1.18	Rizs. 1.19

Egy végtelen pozitív töltésű sík elektromos térerősségének meghatározásához gondolatban kiválasztunk egy hengert a térben, amelynek tengelye merőleges a töltött síkra, az alapok pedig párhuzamosak vele, és az egyik alap átmegy a térponton számunkra érdekes (1.19. ábra). A henger kivág egy területet a töltött síkból, és a henger alapjai, amelyek a sík különböző oldalain helyezkednek el, azonos területtel rendelkeznek.

Gauss tétele szerint az elektromos térerősség vektorának a henger felületén való áramlása a hengeren belüli elektromos töltéssel függ össze a következő kifejezéssel:

.

Mivel a feszültségvonalak csak a henger alapjait metszik, az áramlás a henger oldalfelületén nulla. Ezért a feszültségvektor hengeres felületén áthaladó fluxusa csak a henger alapjain áthaladó fluxusokból áll, ezért

Összehasonlítva az intenzitásvektor-fluxus utolsó két kifejezését, megkapjuk

Ellentétes töltésű lemezek közötti elektromos térerősség. Ha a lemezek méretei jelentősen meghaladják a köztük lévő távolságot, akkor az egyes lemezek elektromos tere egy végtelen, egyenletes töltésű sík tere közelinek tekinthető. Mivel a lemezek közötti ellentétes töltésű lemezek elektromos térerősségvonalai egy irányba irányulnak (1.20. ábra), ezért a lemezek közötti térerősség egyenlő

.

A külső térben az ellentétes töltésű lemezek elektromos térerősségvonalai ellentétes irányúak, ezért ezeken a lemezeken kívül a keletkező elektromos térerősség nulla. Az intenzitásra kapott kifejezés nagy töltött lemezekre érvényes, ha az intenzitást a széleiktől távol eső pontban határozzuk meg.

Végtelen hosszúságú, egyenletes töltésű vékony vezeték elektromos térerőssége. Határozzuk meg egy egyenletes töltésű, végtelen hosszúságú vékony huzal elektromos térerősségének függését a huzal tengelyétől való távolságtól Gauss-tétel segítségével! Válasszunk ki egy véges hosszúságú vezetékszakaszt. Ha a vezeték lineáris töltéssűrűsége , akkor a kiválasztott terület töltése egyenlő.

Chernoutsan A.I. Erővonalak és Gauss-tétel // Kvantum. - 1990. - 3. sz. - P. 52-55.

Külön megállapodás alapján a Kvant folyóirat szerkesztőbizottságával és szerkesztőivel

Az iskolai fizikatanfolyamról tudja, hogy az elektromos tér vizuális ábrázolása az erővonalak képéből nyerhető (egyezzünk meg, hogy „elektromos” mező alatt itt az elektrosztatikus mezőt értjük). A mezővonal érintőjének megrajzolásával megtudjuk a feszültségvektor irányát (a vonalakon lévő nyilak mutatják, hogy pontosan hova kell irányítani ezt a vektort), összehasonlítva a különböző helyeken lévő mezővonalak sűrűségét (azaz a feszültségvektorok számát) Egyetlen rá merőleges területen áthaladó erővonalak), megtudjuk, hol és hányszor nagyobb a feszültség nagysága. Az erővonalak jelentősége azonban ezzel nem ér véget.

Az üres térben a vonalak folytonosságának jól ismert tulajdonsága valójában az elektromos tér legfontosabb tulajdonságát tükrözi. Fogalmazzuk meg: az elektromos tér úgy van kialakítva, hogy a töltések közötti üres térben a sűrűség szabályát betartva és azok megtörése nélkül lehessen erővonalakat húzni; a vonalak pozitív töltésekkel kezdődnek és negatív töltésekkel végződnek; Minden töltés a méretével arányos sorral kezdődik (vagy végződik).

Meglepődtél? Magától értetődőnek, magától értetődőnek tűnik ez a tulajdonság? Ez messze nem igaz. Ha a Coulomb-törvény kissé más lett volna, lehetetlen lett volna folyamatosan erővonalakat húzni. Vegyünk például egy pontdíjat. Ahogy távolodsz tőle, a mezővonalak sűrűsége csökken. Így a töltéstől való távolság 2-szeres növekedésével a vonalak sűrűsége 4-szeresére csökken (a vonalak száma nem változik, de a gömb felülete növekszik 4-es tényező). Az elektromos térerősség is ugyanekkora mértékben csökken. De csak annak köszönhető, hogy a Coulomb-törvény tartalmazza a \(~\frac(1)(r^2)\)-t! Ha például \(~\frac(1)(r^3)\ lenne, akkor a feszültség nem 4-szeresére, hanem 8-szorosára csökkenne, és a sűrűségszabálynak megfelelően a mezővonalak fele le kell vágni az úton r 2-ig r. És ez az üres térben van!

Az elektromos erővonalak folytonossági tulajdonságának matematikailag szigorú kifejezése Gauss tétele. Ennek megfogalmazásához és bizonyításához először az erővonalak kvalitatív nyelvezetétől a precíz mennyiségi fogalmak felé kell elmozdulnunk. Kezdjük azzal, hogy valamelyest átfogalmazzuk a vonalfolytonosság tulajdonságát.

Tekintsünk egy tetszőleges zárt felületet. Ha a felületen belül nincsenek töltések, akkor az azt elhagyó vonalak száma pontosan megegyezik a belépő vonalak számával. Kényelmes figyelembe venni a bejövő és a kimenő sorokat, de mínuszjelet rendelni hozzájuk. Ekkor azt mondhatjuk, hogy az „üres” felületből kilépő erővonalak száma összesen nulla. Ha van valami töltés a felületen belül, akkor ez nyilvánvaló a felszínről kijövő vonalak száma arányos lesz ennek a töltésnek a nagyságával. Ez a Gauss-tétel kvalitatív megfogalmazása. De menjünk tovább.

Vezessük be a skaláris mennyiséget Φ - a feszültségvektor áramlásának nevezzük kis területen keresztül:

\(~\Phi = ES \cos \alpha\) . (1)

Itt \(~\vec E\) a térerősség a kiválasztott hely helyén (mivel a terület kicsi, a mező egységesnek tekinthető), S- a helyszín területe, α - a \(~\vec E\) vektor és a \(~\vec n\) vektor közötti szög, amely normális a helyszínre. Nézze meg az 1. ábrát: a helyszínre behatoló mezővonalak száma S, egyenlő a sűrűségük és a keresztirányú terület területének szorzatával \(~S_(\perp) = S \cos \alpha\). Mivel a vonalak sűrűsége arányos E, a telephelyen áthaladó elektromos vezetékek teljes száma arányos az áramlással Φ . Egy bizonyos zárt felületről kiinduló összes erővonal megfelel a teljes felületen áthaladó fluxusnak (azaz a felület egyes kis szakaszain áthaladó fluxusok összegének). Annak érdekében, hogy a kimenő vonalak pozitívan járuljanak hozzá az áramláshoz, a bejövő vezetékek pedig negatívan járuljanak hozzá, egyetértünk abban, hogy a felszíni normál mindenhol kifelé „néz”.

Most már világos, hogy Gauss tétele a következőképpen fogalmazható meg: az elektromos térerősség vektor áramlása bármely zárt felületen arányos a felületen belüli teljes töltéssel. Ennek a tételnek a bizonyításához és egyben az arányossági együttható kiszámításához először vegyük figyelembe a mennyiség egy egyszerű, de nagyon fontos tulajdonságát. Φ .

Írjuk fel az (1) képletet \(~\Phi = (E \cos \alpha) S = E_n S\ alakban), ahol E n a \(~\vec E\) vektor vetülete a \(~\vec n\) normál irányába. Ha a mezőt több töltés hozza létre, akkor a szuperpozíció elve szerint \(~\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \ldots + \vec E_k\). De a vektorok összegének vetülete egyenlő a vetületek összegével: E n= E 1n+ E 2n + … + E kn. Ebből azt kapjuk, hogy az intenzitásvektor teljes fluxusa egyenlő az egyes töltések által létrehozott fluxusok összegével: Φ = Φ 1 + Φ 2 + … + Φ k. Ezért beszélhetünk az egyes töltések teljes fluxusához való hozzájárulásáról.

Először is bizonyítsuk be, hogy a fluxushoz való hozzájárulás egy ponttöltésből q a zárt felületen kívül található nullával egyenlő. Tekintsünk két kis felületet, amelyeket egy keskeny kúp vág le (2. ábra). Nekünk van

\(~\begin(mátrix) \Phi_1 = E_1 S_1 \cos \alpha_1 = -E_1 S_(1 \perp) \\ \Phi_2 = E_2 S_2 \cos \alpha_2 = E_2 S_(2 \perp) \end(mátrix) \) ,

ahol \(~E_1 = \frac(1)(4 \pi \varepszilon_0) \frac(q)(r^2_1)\) , \(~E_2 = \frac(1)(4 \pi \varepszilon_0) \frac (q)(r^2_2)\) .

A hasonlóságból az következik

\(~\frac(r^2_1)(r^2_2) = \frac(S_(1 \perp))(S_(2 \perp))\) .

És így,

\(~\Phi_1 = -\Phi_2\) vagy \(~\Phi_1 + \Phi_2 = 0\).

Az áramlások hasonló kölcsönös megsemmisülése minden más megfelelő szakaszpárnál előfordul.

Számítsuk ki most egy zárt felületen belül elhelyezkedő ponttöltésből a fluxushoz való hozzájárulást. Vegyük körbe a töltést egy sugarú gömbfelülettel r(3. ábra). Az előzőhöz hasonlóan okoskodva azt tapasztaljuk, hogy ebben az esetben is Φ 1 = Φ 2, azaz hogy a vizsgált tetszőleges felületen átmenő fluxus egyenlő a gömbön áthaladó fluxussal. És a gömbön keresztüli áramlás könnyen kiszámítható:

\(~\Phi = ES = \frac(1)(4 \pi \varepszilon_0) \frac(q)(r^2) 4 \pi r^2 = \frac(q)(\varepszilon_0)\) .

Így elérkeztünk Gauss tételének végső megfogalmazásához: az elektromos térerősség vektor fluxusa egy tetszőleges zárt felületen egyenlő az ezen a felületen lévő teljes töltés osztva az elektromos állandóval, azaz.

\(~\Phi = \frac(\sum q_(vnutr))(\varepszilon_0)\) . (2)

Most pedig térjünk át a szórakoztató részre – kezdjük kihasználni az előnyöket. A Gauss-tétel első alkalmazása az elektromos térerősség kiszámítása. Azonnal tegyünk egy fenntartást, hogy az így megoldott feladatok köre nem túl széles (ellentétben a szuperpozíció elvén alapuló módszerrel). De még mindig létezik. Ha például a tér minden minket érdeklő pontján előre tudjuk a feszültségvektor irányát, ha sikerült olyan zárt felületet választanunk, amelyre a feszültségvektor fluxusának kiszámítása egyszerű, akkor talán a siker vár minket. De micsoda siker!

Tudniillik Newtonnak sok évbe telt annak bizonyítása, hogy egy anyagrészecske golyóhoz (Földhöz) való vonzóereje nem változik, ha a labda teljes tömege a középpontjában összpontosul. A szuperpozíciós elven történő bizonyításhoz az integrálszámítást jelentősen ki kellett fejlesztenie. Most nézzük meg, hogyan tudunk könnyedén megbirkózni szinte ugyanazzal a feladattal. Vegyünk egy töltéssel egyenletesen töltött labdát K, és számítsa ki a mezőt azon kívül - távolról r közepétől (4. ábra). A szimmetria megfontolások alapján egyértelmű, hogy a \(~\vec E\) térerősség vektor mindenhol a sugár mentén irányul. Fejezzük ki a feszültségvektor áramlását egy sugarú gömbön keresztül r két út. Az áramlás meghatározása szerint

\(~\Phi = ES = 4 \pi E r^2\) ,

és Gauss tétele szerint

\(~\Phi = \frac(Q)(\varepszilon_0)\) .

Innen kapunk

\(~E = \frac(1)(4 \pi \varepszilon_0) \frac(Q)(r^2)\)

A rajta kívül töltött labda mezője egybeesik a labda közepén elhelyezett ponttöltés mezőjével.

Egy másik példa: keressük meg egy végtelen töltött sík térerősségét felületi töltéssűrűséggel σ (5. ábra). A szimmetriából jól látható, hogy a \(~\vec E\) vektor mindenhol merőleges a síkra. Válasszunk a síkhoz képest szimmetrikusan elhelyezkedő henger alakú zárt felületet. A feszültségvektor fluxusa a henger oldalfelületén nulla, és az egyes alapokon egy-egy területtel S egyenlő ES, azaz

\(~\Phi = 2 ES\) .

De Gauss tétele szerint

\(~\Phi = \frac(\sigma S)(\varepszilon_0)\) .

Mindkét egyenlőség jobb oldalát egyenlővé téve azt kapjuk, hogy

\(~E = \frac(\sigma)(2 \varepszilon_0)\) .

Végül egy utolsó példa. Ez a vezetők egyik nagyon fontos tulajdonságára vonatkozik. Mutassuk meg, hogy a vezető statikus töltései mindig a felületén helyezkednek el. A bizonyítás nagyon egyszerű. Mivel a vezető belsejében a térerősség nulla (ellenkező esetben szabad töltések mozognának), így az intenzitásvektor fluxusa a vezető belsejébe húzott bármely zárt felületen nulla. Ez pedig azt jelenti, hogy a vezető vastagságában bármilyen kis felületen belüli töltés is nulla. Következésképpen a vezető összes töltése valójában a felületén található.

És most - egy fontos megjegyzés. A vezető térfogatának elektromos semlegességének bizonyítása Gauss tételén alapul, amely a térvonalak folytonosságának tulajdonságához hasonlóan csak akkor igaz, ha \(~\frac(1)(r^2)\) Coulomb törvénye. Következtetés: a Coulomb-törvény érvényessége kísérletileg igazolható. Ehhez elegendő gondoskodni arról, hogy a vezető vastagsága elektromosan semleges legyen.

Látod, mennyi érdekes dolgot lehet elmondani egyetlen tételből – a Gauss-tételből.

A kísérletileg megállapított Coulomb-törvény és a szuperpozíciós elv lehetővé teszi egy adott töltésrendszer elektrosztatikus terének teljes leírását vákuumban. Az elektrosztatikus mező tulajdonságait azonban más, általánosabb formában is ki lehet fejezni anélkül, hogy a ponttöltés Coulomb-mezőjének gondolatához folyamodnánk.

Vezessünk be egy új, az elektromos teret jellemző fizikai mennyiséget – a feszültségvektor fluxusa Φ elektromos mező. Legyen valami kellően kicsi Δ terület abban a térben, ahol az elektromos tér keletkezik S. A vektormodulus és a Δ terület szorzata Sés a vektor és a terület normálja közötti α szög koszinuszát nevezzük a feszültségvektor elemi áramlása a Δ platformon keresztül S(1.3.1. ábra):

Nézzünk most egy tetszőleges zárt felületet S. Ha ezt a felületet kis területekre osztjuk Δ Sén, határozza meg a ΔΦ elemi áramlásokat én mezőket ezeken a kis területeken keresztül, majd összegezzük, akkor ennek eredményeként megkapjuk a vektor Φ áramlását a zárt felületen keresztül S(1.3.2. ábra):

Zárt felület esetén mindig válasszon külső normál .

Gauss tétele kimondja:

Elektrosztatikus térerősség vektor áramlás egy tetszőleges zárt felületen keresztül egyenlő a felületen belüli töltések algebrai összegével osztva az ε elektromos állandóval 0 .

Ennek bizonyításához vegyünk először egy gömbfelületet S, melynek közepén ponttöltés található q. Az elektromos tér a gömb bármely pontjában merőleges a felületére, és egyenlő nagyságú

Ahol R– a gömb sugara. A Φ fluxus egy gömbfelületen egyenlő lesz a szorzattal E gömbfelületenként 4π R 2. Ennélfogva,

Most vegyük körbe a ponttöltést egy tetszőleges zárt felülettel Sés tekintsünk egy sugarú segédgömböt R 0 (1.3.3. ábra).

Tekintsünk egy kúpot kicsivel térszög ΔΩ a tetején. Ez a kúp kiemel egy kis Δ területet a gömbön S 0 , és a felszínen S– pad Δ S. Az ezeken a területeken áthaladó ΔΦ 0 és ΔΦ elemi áramlások azonosak. Igazán,

ΔΦ 0 = E 0 Δ S 0 , ΔΦ = EΔ S cos α = EΔ S ‘ .

Itt Δ S' = Δ S cos α – egy ΔΩ térszögű kúp által lefoglalt terület egy sugarú gömb felületén n.

Mivel , a , ezért Ebből következik, hogy egy ponttöltés elektromos terének teljes fluxusa a töltést lefedő tetszőleges felületen egyenlő a segédgömb felületén átmenő Φ 0 fluxussal:

Hasonló módon kimutatható, hogy ha egy zárt felület S pontdíjat nem fedezi q, akkor az áramlás Φ = 0. Ilyen esetet mutat be az ábra. 1.3.2. A ponttöltés összes elektromos erővonala áthatol egy zárt felületen S keresztül. A felület belsejében S nincsenek töltések, így ebben a régióban a mezővonalak nem szakadnak le és nem keletkeznek.

A szuperpozíciós elvből következik a Gauss-tétel tetszőleges töltéseloszlás esetére történő általánosítása. Bármely töltéseloszlás mezeje a ponttöltések elektromos mezőinek vektorösszegeként ábrázolható. Egy töltésrendszer Φ áramlása tetszőleges zárt felületen SΦ áramlásokból fog állni én egyedi töltések elektromos mezői. Ha a töltés qén a felszínen belülre került S, akkor egyenlő mértékben járul hozzá az áramláshoz, mint ha ez a töltés a felszínen kívül van, akkor elektromos mezőjének hozzájárulása az áramláshoz nulla lesz.

Így Gauss tétele bebizonyosodott.

Gauss tétele a Coulomb-törvény és a szuperpozíció elvének következménye. De ha az ebben a tételben foglalt állítást vesszük eredeti axiómának, akkor annak következménye a Coulomb-törvény lesz. Ezért Gauss tételét néha a Coulomb-törvény alternatív megfogalmazásának is nevezik.

A Gauss-tételt felhasználva bizonyos esetekben könnyen kiszámítható az elektromos térerősség egy töltött test körül, ha az adott töltéseloszlásnak van némi szimmetriája, és előre sejthető a tér általános szerkezete.

Példa erre egy vékony falú üreges, egyenletes töltésű hosszú, sugarú henger mezőjének kiszámítása. R. Ennek a problémának tengelyszimmetriája van. A szimmetria okán az elektromos teret a sugár mentén kell irányítani. Ezért a Gauss-tétel alkalmazásához célszerű zárt felületet választani S valamilyen sugarú koaxiális henger formájában rés hossza l, mindkét végén zárva (1.3.4. ábra).

Nál nél r ≥ R a feszültségvektor teljes áramlása áthalad a henger oldalfelületén, amelynek területe egyenlő 2π rl, mivel a fluxus mindkét bázison nulla. A Gauss-tétel alkalmazása a következőket adja:

Ez az eredmény nem függ a sugártól R töltött henger, így a hosszú egyenletes töltésű menet mezejére is vonatkozik.

A töltött hengeren belüli térerősség meghatározásához zárt felületet kell kialakítani a ház számára r < R. A feladat szimmetriája miatt az intenzitásvektor fluxusának a Gauss-henger oldalfelületén ebben az esetben is egyenlőnek kell lennie Φ = E 2π rl. Gauss tétele szerint ez az áramlás arányos a zárt felület belsejében rekedt töltéssel. Ez a díj nulla. Ebből következik, hogy az egyenletes töltésű hosszú üreges henger belsejében az elektromos tér nulla.

Hasonló módon a Gauss-tételt alkalmazhatjuk az elektromos tér meghatározására számos más esetben, amikor a töltések eloszlása ​​valamilyen szimmetriával rendelkezik, például szimmetria a középpont, sík vagy tengely körül. Mindegyik esetben megfelelő alakú zárt Gauss-felületet kell választani. Például centrális szimmetria esetén célszerű egy gömb alakú Gauss-felületet választani, amelynek középpontja a szimmetriapontban van. Tengelyszimmetria esetén a zárt felületet koaxiális henger formájában kell megválasztani, mindkét végén zárva (mint a fent tárgyalt példában). Ha a töltések eloszlása ​​nem szimmetrikus, és az elektromos tér általános szerkezete nem sejthető, akkor a Gauss-tétel alkalmazása nem egyszerűsítheti le a térerősség meghatározását.

Tekintsünk egy másik példát a szimmetrikus töltéseloszlásra - egy egyenletes töltésű sík mezőjének meghatározására (1.3.5. ábra).

Ebben az esetben a Gauss-felület S Célszerű valamilyen hosszúságú, mindkét végén zárt henger formájában választani. A henger tengelye merőleges a töltött síkra, végei attól azonos távolságra helyezkednek el. A szimmetria miatt az egyenletesen töltött sík mezőjét mindenhol a normál mentén kell irányítani. A Gauss-tétel alkalmazása a következőket adja:

ahol σ – felületi töltéssűrűség , azaz területegységenkénti díj.

Az egyenletes töltésű sík elektromos mezőjének így kapott kifejezése véges méretű lapos töltésű területek esetén is alkalmazható. Ebben az esetben a térerő meghatározásának pontja és a töltött terület közötti távolság lényegesen kisebb legyen, mint a terület mérete.

Ha sok a díj, akkor a mezők kiszámítása során nehézségek merülnek fel.

A Gauss-tétel segít ezek leküzdésében. A lényeg Gauss tétele a következőre csapódik le: ha tetszőleges számú töltést gondolatban egy zárt S felület vesz körül, akkor az elektromos térerősség áramlása egy elemi területen dS a következőképpen írható fel: dФ = Есоsα۰dS ahol α a normál és a sík és az erővektor . (12.7. ábra)

A teljes felületen áthaladó teljes fluxus egyenlő lesz a benne véletlenszerűen elosztott összes töltés fluxusainak összegével, és arányos ennek a töltésnek a nagyságával.

(12.9)

Határozzuk meg az intenzitásvektor áramlását egy r sugarú gömbfelületen, amelynek középpontjában +q ponttöltés található (12.8. ábra). A feszítővonalak merőlegesek a gömb felületére, α = 0, ezért cosα = 1. Ekkor

Ha a mezőt töltésrendszer alkotja, akkor

Gauss tétele: az elektrosztatikus térerősségvektor vákuumban tetszőleges zárt felületen keresztüli áramlása egyenlő a felületen belüli töltések algebrai összegével osztva az elektromos állandóval.

(12.10)

Ha a gömbön belül nincsenek töltések, akkor Ф = 0.

Gauss tétele viszonylag egyszerűvé teszi a szimmetrikus eloszlású töltések elektromos mezőjének kiszámítását.

Vezessük be az elosztott töltések sűrűségének fogalmát.

A lineáris sűrűséget τ-val jelöljük, és az egységnyi hosszonkénti q töltést ℓ jellemzi. Általában a képlet segítségével számítható ki

(12.11)

A töltések egyenletes eloszlása ​​esetén a lineáris sűrűség egyenlő

A felületi sűrűséget σ jelöli, és az egységnyi S területre eső q töltést jellemzi. Általában a képlet határozza meg

(12.12)

A töltések egyenletes eloszlásával a felületen a felületi sűrűség egyenlő

A térfogatsűrűséget ρ jelöli, és az egységnyi V térfogatra jutó q töltést jellemzi. Általában a képlet határozza meg

(12.13)

A töltések egyenletes eloszlása ​​esetén egyenlő
.

Mivel a q töltés egyenletesen oszlik el a gömbön, akkor

σ = állandó. Alkalmazzuk Gauss tételét. Rajzoljunk egy sugarú gömböt az A ponton keresztül. A 12.9. ábrán látható feszültségvektor áramlása egy sugarú gömbfelületen cosα = 1, mivel α = 0. Gauss tétele szerint,
.

vagy

(12.14)

A (12.14) kifejezésből az következik, hogy a töltött gömbön kívüli térerősség megegyezik a gömb közepén elhelyezett ponttöltés térerősségével. A gömb felületén, azaz. r 1 = r 0, feszültség
.

A gömb belsejében r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Az r 0 sugarú henger egyenletesen töltődik σ felületi sűrűséggel (12.10. ábra). Határozzuk meg a térerősséget egy tetszőlegesen kiválasztott A pontban. Rajzoljunk egy képzeletbeli R sugarú és ℓ hosszúságú hengerfelületet az A ponton keresztül. A szimmetria miatt az áramlás csak a henger oldalfelületein keresztül fog kilépni, mivel az r 0 sugarú henger töltései egyenletesen oszlanak el a felületén, azaz. a feszítési vonalak radiális egyenesek lesznek, merőlegesek mindkét henger oldalfelületére. Mivel a hengerek alján átáramló áramlás nulla (cos α = 0), és a henger oldalfelülete merőleges az erővonalakra (cos α = 1), akkor

vagy

(12.15)

Fejezzük ki E értékét σ - felületi sűrűségen keresztül. A-priory,

ennélfogva,

Helyettesítsük be q értékét a (12.15) képletbe!

(12.16)

A lineáris sűrűség meghatározása szerint
, ahol
; ezt a kifejezést behelyettesítjük a (12.16) képletbe:

(12.17)

azok. A végtelenül hosszú töltött henger által létrehozott térerősség arányos a lineáris töltéssűrűséggel és fordítottan arányos a távolsággal.

Egy végtelen, egyenletes töltésű sík által létrehozott térerősség

Határozzuk meg az A pontban végtelen, egyenletes töltésű sík által létrehozott térerősséget. Legyen a sík felületi töltéssűrűsége σ. Zárt felületként célszerű olyan hengert választani, amelynek tengelye merőleges a síkra, és amelynek jobb oldali alapja az A pontot tartalmazza. A sík kettéosztja a hengert. Nyilvánvaló, hogy az erővonalak merőlegesek a henger síkjára és párhuzamosak a henger oldalfelületével, így a teljes áramlás csak a henger alján halad át. Mindkét alapon azonos a térerő, mert Az A és B pont szimmetrikus a síkhoz képest. Ekkor a henger alján átfolyó áramlás egyenlő

Gauss tétele szerint

Mert
, Azt
, ahol

(12.18)

Így egy végtelen töltött sík térereje arányos a felületi töltéssűrűséggel, és nem függ a sík távolságától. Ezért a sík tere egységes.

Két ellentétes, egyenletes töltésű párhuzamos sík által létrehozott térerősség

A két sík által létrehozott mezőt a mezőszuperpozíció elve határozza meg:
(12.12. ábra). Az egyes síkok által létrehozott mező egyenletes, ezeknek a mezőknek az erősségei nagyságukban egyenlőek, de ellentétes irányúak:
. A szuperpozíció elve szerint a síkon kívüli teljes térerősség nulla:

A síkok között a térerősség iránya azonos, így a kapott erősség egyenlő a

Így a tér két különböző töltésű sík között egyenletes és intenzitása kétszer olyan erős, mint az egy sík által létrehozott térerősség. A síkoktól balra és jobbra nincs mező. A véges síkok mezője azonos alakú, a torzítás csak a határaik közelében jelenik meg. A kapott képlet segítségével kiszámíthatja a lapos kondenzátor lemezei közötti mezőt.

7. ELŐADÁS OSTROGRADSKY-GAUSS TÉTEL ELEKTROMOSTATIKUS TÉRRE

BEVEZETÉS

Ebben az előadásban az elektrosztatikus tér legfontosabb jellemzőivel folytatjuk az ismerkedést.

Az elektromos indukció fogalmának bevezetése mindenekelőtt az elektrosztatikus tér leírásának kényelmével és számos elektrosztatikai probléma megoldásának egyszerűsítésével függ össze, amelyek főként a dielektrikumok elektrosztatikus terével kapcsolatosak.

Az a tény, hogy az elektrosztatikus mezőt jellemző másik mennyiség az elektrosztatikus tér indukciós vektorának bármely felületen keresztüli áramlását csak a szabad töltések határozzák meg, és nem az adott felület által korlátozott térfogaton belüli összes töltés.

Az elektromos és mágneses terek további tanulmányozása során nemegyszer találkozunk hasonló fogalmakkal - mágneses tér indukció, mágneses indukciós fluxus. E fogalmak fizikai jelentése természetesen más, de matematikai természetük teljesen egyenértékű.

1. AZ ELEKTROSZTATIKUS TÉR INDUKCIÓS VEKTOR ÁRAMLÁSA

Mint ismeretes, az elektrosztatikus térerősség a közeg tulajdonságaitól függ: homogén izotróp közegben a térerősség fordítottan arányos a dielektromos állandóval .

Ezért az egyik közegről a másikra való áttéréskor az elektrosztatikus térerősség hirtelen megváltozik, ami kényelmetlenséget okoz az elektrosztatikus mezők kiszámításakor. Emiatt szükségessé vált az intenzitásvektoron kívül egy másik vektormennyiséggel - az elektromos elmozdulásvektorral vagy az elektrosztatikus térindukciós vektorral - jellemezni a mezőt.

Meghatározás. Az elektromos elmozdulás (elektromos indukció) egy vektorfizikai mennyiség, amely egyenlő a közeg abszolút dielektromos állandójának és az elektromos térerősség szorzatával.

, (1)

ahol a mennyiséget a közeg abszolút dielektromos állandójának nevezzük.

A képletből (1) ebből következik, hogy az elektromos indukció vektora és az elektrosztatikus térerősség vektora izotróp közegekre, i.e. A minden irányban azonos tulajdonságú közegek mindig kollineárisak, mivel az abszolút dielektromos állandó szigorúan pozitív érték.

Határozzuk meg egy ponttöltés elektromos mezőjének indukcióját.

1. ábra

(2)

A képletből (2) világos, hogy az érték valóban nem függ a közeg tulajdonságaitól. Az érték minden közegben (víz, kerozin stb.) azonos.

Az elektromos indukció mérete az SI rendszerben:

Az elektrosztatikus mező grafikus ábrázolására elektromos eltolási vonalak használhatók.

Meghatározás. Az elektromos tér indukciós vonalai olyan képzeletbeli vonalak, amelyek érintői minden pontban egybeesnek az elektromos tér indukciós vektorával egy adott pontban.

Tekintsünk egy elektromos teret, amelyet az elektromos elmozdulásvektor jellemez. Legyen ez a mező egy elemi sík felület, amelynek területe - (2. ábra) .

2. ábra

Szerkesszünk egy a felszínre merőleges egységet, és irányítsuk „kifelé”. Ezután bevezetjük az orientált terület vektorát, amely megegyezik az elemi felület területének és az egységnyi normálvektor szorzatával:

Nyilvánvaló, hogy és mivel .

Meghatározás Elemi folyam az elektromos indukció vektora a helyszínen dS egy skaláris fizikai mennyiség, amely egyenlő egy vektor skaláris szorzatával egy vektor-orientált területen.

Ahol - szög az indukciós vektor között és a felszínhez képest normális, - az elektromos indukciós vektor normál irányra vetítése.

Egy vektor teljes fluxusa bármely felületen megegyezik az elemi fluxusok összegévelelemi felületeken keresztül, amelyekre egy adott tetszőleges alakú felület felosztható, azaz:

(4)

Az elektromos indukció áramlásának mérete az SI rendszerben coulomb:

.

Megjegyzés.

1) Zárt felületekhez S a vektor fluxusa ezen a felületen:

()

A normál pozitív irányát a külső normál irányának tekintjük, azaz. a normál kifelé mutat a felület által fedett területre.

Az előadás ezen részében az elektromos teret jellemző új fizikai mennyiségeket - az elektromos tér indukcióját és az elektromos tér indukciós vektorának áramlását - tanulmányoztuk. Az elektromos indukciós vektor segédmennyiség, de ennek ellenére fontos szerepet játszik az elektromos tér vizsgálatának folyamatában. Hasonló mennyiségeket vezetünk be a mágneses tér tanulmányozásakor.

2. OSTROGRADSKY-GAUSS TÉTEL

Ismeretes, hogy a töltésrendszer által létrehozott térerősség az elektrosztatikus mezők szuperpozíciójának elve alapján számítható ki. De ez a legtöbb esetben nehézkes számításokkal jár.

Ezek a számítások nagyban leegyszerűsíthetők az elektrosztatika alaptételének, az Ostrogradsky-Gauss-tételnek a használatával, amely meghatározza az elektromos indukciós vektor áramlását bármely zárt felületen.

Az Ostrogradsky-Gauss tétel a következőképpen fogalmazódik meg:

"Az elektrosztatikus mező indukciós fluxusa bármely zárt felületen megegyezik a felületen belüli töltések algebrai összegével."

Matematikailag az elektrosztatikus terekre vonatkozó Ostrogradsky-Gauss-tétel a következőképpen van felírva:

= (5)

Megjegyzések.

1) A felületnek zártnak kell lennie, a felület alakja nem számít, bármi lehet.

2) Ha a felület S nem terjed ki a töltésekre, akkor az elektromos indukció áramlása rajta nulla (3. ábra):

3. ábra

3) Ha a töltések algebrai összege 0, akkor a fluxus nulla.

Az Ostrogradsky-Gauss-tétel jelentősége óriási - lehetővé teszi egy összetett konfigurációjú elektromos tér indukciójának és erősségének megtalálását.

Algoritmus (séma) az O tétel használatáhozcTrogradszkij-Gaussa töltések tetszőleges konfigurációja által létrehozott elektrosztatikus mező erősségének kiszámításakor a következő pontokból áll:

1) Kiválasztjuk azt a pontot, ahol meghatározzuk és

2) Ezen a ponton keresztül rajzolunk egy zárt felületet, amely minden töltést lefed;

3) Az áramlás kiszámítása elektromos indukció ezen a felületen keresztül definíció szerint, vagyis a következő képlet szerint:

4) Ugyanazt az áramlást számítjuk ki, de az Ostrogradsky-Gauss tétel szerint:

(5)

5) A harmadik és negyedik bekezdésben kapott kifejezéseket egyenlővé tesszük, és meghatározzuk az elektromos indukció értékét egy adott pontban:

6) Az elektromos indukció ismeretében könnyen meghatározható az elektrosztatikus térerősség nagysága egy adott pontban:

Mint fentebb említettük, az Ostrogradsky-Gauss tétel az elektrosztatika egyik fő tétele, amelynek segítségével könnyen kiszámítható a különféle konfigurációjú elektrosztatikus mezők erőssége és elektromos indukciója. Minden tanulónak fejből kell tudnia az Ostrogradsky-Gauss-tétel alkalmazásának algoritmusát.

3. AZ OSTROGRADSKY-GAUSS TÉTEL ALKALMAZÁSA ELEKTROSZTATIKUS MEZŐK ERŐSSÉGÉNEK SZÁMÍTÁSÁRA

A problémák megoldása során gyakran célszerű feltételezni, hogy a díjakat töltött testben folyamatosan elosztva – egy bizonyos vonal mentén (például töltött vékony rúd esetén), felületen (például töltött lemez esetén), vagy térfogaton. Ennek megfelelően használják a fogalmakat lineáris, felületi és térfogati töltéssűrűség.

Az elektromos töltések térfogatsűrűsége egy skaláris fizikai mennyiség, amely egyenlő a test töltésének és a test térfogatának arányával, amelyen a töltés eloszlik:

Ha a töltés egyenletesen oszlik el a test térfogatában, akkor a térfogati töltéssűrűség állandó érték és könnyen kiszámítható a következő képlettel:

A térfogati töltéssűrűség dimenzióját a feltüntetett képletekből határozzuk meg, és a nemzetközi mértékegységrendszerben egyenlő: .

Az elektromos töltések felületi sűrűségét hasonló módon határozzák meg - ez egy skaláris fizikai mennyiség, amely megegyezik a teljes felület töltésének és a felület területének arányával:

A felületi töltéssűrűséget SI-mértékegységben, coulombban, négyzetméterenként osztva mérjük:

Az elektromos töltések lineáris sűrűsége egy skaláris fizikai mennyiség, amely egyenlő a kiterjesztett test töltésének és a test hosszának arányával:

A nemzetközi mértékegységrendszerben a lineáris töltéssűrűség dimenziója coulomb osztva méterrel:

3.1. Az egyenletesen töltött gömbfelület által keltett elektrosztatikus tér erőssége.

Mivel a gömb egyenletesen töltődik, a felületi töltéssűrűség állandó érték:

Legyen számunkra ismert a gömb sugara és egyenlő . Ezután a fenti képletből könnyen kifejezhető a teljes gömb teljes töltése:

Feltételezzük, hogy a gömb pozitív töltésű. A töltés egyenletes eloszlása ​​miatt a gömb felületén az ezen töltések által létrehozott mező gömbszimmetrikus. Ezért az elektromos indukciós vonalak (és az elektrosztatikus térerősség vonalak) sugárirányban a gömbtől irányulnak (4. ábra).

4. ábra

Az Ostrogradsky-Gauss-tétel alkalmazására szolgáló fenti algoritmusnak megfelelően a következő műveleteket hajtjuk végre:

1. Válasszon ki egy tetszőleges A pontot, amely a gömb középpontjától távol van és ezen a ponton határozzuk meg az elektrosztatikus tér erősségét;

2. Rajzoljon egy zárt felületet a ponton keresztül . Figyelembe véve a feladat gömbszimmetriáját, célszerű olyan sugarú gömböt építeni, amelynek középpontja azon a ponton van, ahol a töltött gömb középpontja található;

3. A definíció szerint kiszámítjuk az elektromos indukció áramlását a felületen:

Mivel a feladatnak gömbszimmetriája van, az elektromos indukciós vektor nagysága a töltött gömb középpontjától azonos távolságra lévő bármely pontban állandó lesz, ezért jogunk van ezt az értéket eltávolítani az integráljel alól. Ezenkívül a szög - az elektromos indukció vektora és a normálvektor közötti szög a gömbfelülettel a gömbfelület bármely pontján, amely mentén az integrációt végrehajtják, nullával egyenlő.

Az űrlap integrálja megegyezik annak a felületnek a területével, amelyen az integrációt végrehajtják, így végül felírhatjuk:

;

4. Ugyanazt az áramlást számítjuk ki, de az Ostrogradsky-Gauss tétel szerint:

5. Összehasonlítjuk a 3. és 4. bekezdésben kapott eredményeket:

Vagy ,

és keresse meg az elektromos indukció értékét az A pontban:

Vagy

6. Határozza meg az elektrosztatikus térerősséget a pontban:

vagy

Megjegyzések:

1) Ha az A pont egy töltött gömb belsejében található, azaz az elektromos indukció és az elektrosztatikus térerősség egy ilyen pontban azonos nullával, és mivel a töltött gömbön belül nincsenek töltések, az elektromos indukció áramlása A töltött gömb belsejében található bármely zárt felületen keresztül nullával egyenlő lesz. Más szóval, a töltött gömbön belül nincs elektromos tér.

2) Ha az A pont egy töltött gömb felületén van, akkor a töltött gömb felületén az elektromos indukció és az elektromos térerősség rendre egyenlő:

Vagy

Vagy

Az elektrosztatikus térerősségnek a gömb középpontjától való távolságától való függésének grafikonja (5. ábra):

Rizs. 5

3.2. Egyenletes töltésű végtelen sík térerőssége

Legyen egy egyenletes töltésű, állandó felületi töltéssűrűségű végtelen sík (6. ábra).

Rizs. 6

Egy síkot végtelennek tekintünk, ha a távolság a síktól a meghatározott pontig sokkal kisebb, mint a sík lineáris méretei. Az elektromos eltolási vonalak, valamint a vektoros erővonalak ebben az esetben a síkra merőlegesek és szimmetrikusan futnak mindkét irányba

Az Ostrogradsky-Gauss tételt fogjuk használni a jól ismert algoritmus szerint:

1. Válasszon ki egy pontot a síktól távol.

2. Rajzoljunk át ezen a ponton egy henger alakú zárt felületet, melynek tengelye merőleges a töltött felületre. A pont a henger alján található.

3. Számítsuk ki az indukciós fluxust a megszerkesztett hengerfelületen definíció szerint!

,

ahol a henger oldalfelületén áthaladó indukciós fluxus, és a henger alján áthaladó indukciós fluxus.

Az oldalfelületen áthaladó indukciós fluxus zérus, mivel az oldalfelülettel bezárt normál és az indukciós vektor közötti szög egyenlő. Áramlás a henger alján:

4. Számítsuk ki az indukciós fluxust az Ostrogradsky–Gauss-tétel segítségével!

,

hol van az elektromos töltés az általunk felépített zárt felületen belül - a hengerben.

5. Hasonlítsuk össze a 3. és 4. pontban kapott eredményeket, és találjuk meg:

, innen

6. Számítsuk ki az egyenletes töltésű végtelen sík által keltett elektromos tér erősségét!

.

Rizs. 7

Így az egyenletes töltésű sík indukciója és térerőssége nem függ a síktól való távolságtól, és a mező bármely pontján állandó: egy töltött felület tere egyenletes. Negatív töltésű felület esetén az eredmény ugyanaz lesz, csak a vektorok iránya változik az ellenkezőjére. Egy ilyen mező függőségi grafikonja az ábrán látható. 7.

Ezekből a képletekből kitűnik, hogy egy végtelen, egyenletes töltésű sík elektromos tere egyenletes és nem függ a távolságtól.

Az elektrosztatikus mező szuperpozícióinak elvét alkalmazva könnyen megkaphatjuk a lapos kondenzátor elektromos mezőjének erősségére és elektromos indukciójára vonatkozó kifejezéseket:

Következtetés

Az Ostrogradszkij-Gauss tételt matematikailag származtatta bármilyen természetű vektormezőre az orosz matematikus, M.V. Ostrogradsky, majd tőle függetlenül Gauss megkapta ezt a tételt az elektrosztatikus térre alkalmazva.

Ennek a tételnek a bizonyításakor Gauss a Coulomb-törvényre támaszkodott, ezért az elektrosztatikus térre vonatkozó Ostrogradsky-Gauss-tétel a Coulomb-törvény következménye.

A Gauss-tétel lényegében matematikailag fejezi ki azt a tényt, hogy az elektromos töltések az elektrosztatikus tér forrásai, ezért Gauss tétele az elektrosztatika fő tétele.

4. MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK ÉS PÉLDÁK PROBLÉMAMEGOLDÁSRA

1. FELADAT . Két izolált, koncentrikusan elhelyezkedő, 5 centiméteres, illetve 10 centiméteres sugarú fémgömbhöz 10 nanocoulomb, illetve 20 nanokulombos töltés tartozik. A gömbök közötti teret dielektromos állandójú dielektrikummal töltik ki. Határozza meg az elektrosztatikus tér erősségét és az elektromos indukció nagyságát mindkét gömb középpontjától 2 centiméter, 7 centiméter és 12 centiméter távolságra!

ADOTT:

MEGTALÁLJA:

MEGOLDÁS: ezt a problémát az Ostrogradsky-Gauss tétel segítségével oldjuk meg. Keressük az elektromos indukciót és elektrosztatikus térerősség ezeknek a gömböknek a közös középpontjától 2 centiméter távolságra elhelyezkedő pontban készítünk ehhez egy 2 centiméter sugarú gömbfelületet, amelynek középpontja egybeesik a fémgömbök középpontjával. Ezek után kétféleképpen fogjuk megtalálni az elektromos indukció áramlását ezen a gömbfelületen - az Ostrogradsky-Gauss tételt használva. és az elektromos indukció áramlásának meghatározásával . Az első módszer triviális értéket ad - az elektromos indukció áramlásának nullának kell lennie - , mivel a 2 centiméter sugarú gömbfelület belsejében nincs elektromos töltés. A második módszer a következő eredményt adja:

,

mivel a szög a gömbfelület bármely pontján, amelyen keresztül az elektromos indukció áramlását keressük. Ezen kívül itt figyelembe vettük, hogy az integrál zárt felület felett egyenlő egy 2 centiméter sugarú gömbfelület területével.

Tegyük egyenlőségjelet a két kapott eredmény között: . Ebből az következik, hogy az elektromos indukció nulla a fémgömbök középpontjától 2 centiméter távolságra, és általában mindkét gömbön belül bármely ponton. Határozzuk meg most az elektrosztatikus tér erősségét. Ehhez az elektromos indukció definícióját használjuk . Ebből az egyenlőségből az következik . Így az elektrosztatikus térerősség nulla lesz a gömbök középpontjától 2 centiméter távolságra és a fém töltött gömbök bármely pontján .

Térjünk át egy olyan pontra, amely a töltött fémgömbök között helyezkedik el, közös középpontjuktól 7 centiméter távolságra. Ugyanezt az algoritmust fogjuk követni. Először egy 7 centiméter sugarú gömbfelületet rajzolunk, amelynek közepe egybeesik a fémgömbök középpontjával. Ezután kétféleképpen számítjuk ki az elektromos indukció áramlását ezen a felületen. Az Ostrogradsky-Gauss tételből az következik . Az elektromos indukciós fluxus definíciójának használata más eredményt ad:

.

Itt ugyanazokat a szempontokat vettük figyelembe, mint az első esetben:

És

Ha ezeket a kifejezéseket egyenlővé tesszük, a következőket kapjuk:

.

Így az elektromos indukció a közös középpontjuktól 7 centiméter távolságra lévő töltött gömbök között csak a belső gömb töltésétől függ. , a külső gömb semmilyen módon nem befolyásolja a benne lévő elektromos mezőt.

Az elektrosztatikus térerősség a számunkra érdekes pontban egyenlő lesz

,

Ahol – a töltött gömbök közötti teret kitöltő anyag dielektromos állandója.

Ellenőrizzük a kapott munkaképletek méretét:

És

A méret megfelel a valóságnak, így elkezdheti a végeredmény kiszámítását:

,

Térjünk át a feladat harmadik szakaszára. Az elektromos indukció értékének meghatározása és elektrosztatikus térerősség mindkét töltött gömbön kívül, a közös középpontjuktól 12 centiméter távolságra lévő pontban rajzolunk egy 12 centiméter sugarú gömbfelületet, amelynek középpontja egybeesik a töltött gömbök középpontjával.

Határozzuk meg az elektromos indukció áramlását ezen a felületen kétféleképpen. Az Ostrogradsky-Gauss tétel a következő eredményt adja:

Az elektromos indukció áramlásának meghatározása eltérő eredményhez vezet:

Ennek a két egyenlőségnek a bal oldala megegyezik, ami azt jelenti, hogy ezen egyenlőségek jobb oldalának egyenlőnek kell lennie egymással, azaz: .

Adjuk meg a szükséges mennyiségeket:

És

Így mindkét gömb részt vesz a töltött gömbökön kívüli elektromos tér létrehozásában. Mivel a külső töltött gömböt körülvevő tér nincs kitöltve semmivel (vákuum), így .

Ezeknek a képleteknek a méretét nem kell ellenőrizni, mivel ezt a műveletet fent már elvégezték.

,

A mínusz jel az elektromos indukciós vektor és az elektrosztatikus térerősség vektor irányáról ad információt a töltött gömbök középpontjától 12 centiméter távolságra lévő pontban. Valójában a töltött gömbökön kívül eső bármely ponton az indukciós vektor és az elektrosztatikus térerősség vektor sugárirányban a külső töltött gömb felé irányul.

2. FELADAT . Két korlátlanul meghosszabbított egyenletes töltésű lemez van egymástól bizonyos távolságra. Az elektrosztatikus térerősség a lemezek között méterenként 3000 volt, a lemezeken kívül pedig 1000 volt méterenként. Keresse meg az egyes lemezeken a felületi töltéssűrűséget!

ADOTT:

MEGTALÁLJA:

MEGOLDÁS: a feladat megoldása során az Ostrogradsky-Gauss-tétel alkalmazásának eredményeit fogjuk felhasználni a végtelen, egyenletes töltésű sík által létrehozott elektrosztatikus tér erősségének és elektromos indukciójának kiszámításához. Kiderül, hogy az ilyen sík közelében létező elektrosztatikus tér egyenletes természetű, az ilyen elektrosztatikus tér erővonalai a síkra merőlegesen irányulnak. Ha a síkon a töltés pozitív, akkor az erővonalak mindkét irányba a síkból irányulnak, de ha a síkon a töltés negatív, akkor az erővonalak a sík mindkét oldalára irányulnak. A feszültség nagysága a tér bármely pontjában egy végtelen egyenletes töltésű sík közelében egyenlő.

Az a tény, hogy a lemezek közötti elektrosztatikus térerősség nagyobb, mint a lemezeken kívüli térerősség, azt jelzi, hogy a lemezek ellentétes töltésekkel vannak feltöltve – az egyik pozitívan, a másik negatívan. Mivel a vektorlemezeken kívül ellentétes irányokba irányítva , és a lemezek között - egy irányba, azaz .

Rizs. 2

Ha a lemezek azonos töltéssel vannak feltöltve, mondjuk pozitívan, akkor ez fordítva lesz - a lemezek közötti elektrosztatikus térerősség kisebb lesz, mint a lemezeken kívüli intenzitás, mivel

3. számú FELADAT Milyen erővel hat egy lapos kondenzátor elektromos tere a benne elhelyezkedő 1 nanokulon elektromos töltésére? Határozza meg a kondenzátorlemezek közötti kölcsönhatás erejét! A kondenzátorlapokon a felületi töltéssűrűség 0,1 nanocoulomb négyzetméterenként, a kondenzátorlapok területe 100 négyzetcentiméter.

ADOTT:

MEGTALÁLJA:

MEGOLDÁS: A párhuzamos lemezes kondenzátoron belüli elektrosztatikus tér egy pozitív töltésű lemez és egy negatív töltésű lemez által létrehozott elektromos mezőből áll. A kapott térerősség egyenlő lesz az első és második lemez által létrehozott elektromos térerősségek vektorösszegével:

Egy végtelen, egyenletes töltésű lemez feszültségének nagyságát az Ostrogradsky-Gauss tétel segítségével találhatjuk meg. Mint ismeretes, értéke egyenlő:

Összegezve a fentieket, megtalálhatjuk az elektrosztatikus térerősséget egy párhuzamos lemezes kondenzátoron belül:

Ez az eredmény azt mutatja, hogy a párhuzamos lemezes kondenzátor belsejében az elektromos tér egyenletes.

Ha egy töltött részecskét helyezünk egy lapos kondenzátorba, akkor az elektrosztatikus mezőbe kerül, amely bizonyos erővel hat rá:

Ellenőrizzük a kapott munkaképlet méretét:

A méret helyes, mivel az erőt valójában newtonban mérik.

A matematikai számítások a következő eredményt adják:

A kölcsönhatási erőt, nevezetesen a lapos kondenzátor lemezei közötti vonzási erőt a következőképpen találhatjuk meg: tekintsünk egy töltött kondenzátorlemezt, amely egy másik töltött lemez által létrehozott elektrosztatikus mezőben helyezkedik el. A töltés mértéke a teljes kondenzátorlapon egyenlő , ahol a lapos kondenzátor egyik lemezének területe. Az elektrosztatikus tér erőssége, amelyben ez a kondenzátorlemez található, egyenlő. Következésképpen a kondenzátor egyik lemezére ható erőt a másik lemez által keltett elektrosztatikus térből a következő képlet írja le:

Tehát megválaszoltuk a probléma második kérdését - megtaláltuk a kölcsönhatási erőt (az erőt, amellyel vonzzák) a lapos kondenzátor lemezeit.

Ellenőrizzük ennek a képletnek a méretét:

A méret megfelel a valóságnak, folytassuk a matematikai számításokkal: