الإسقاط الهجائي. الإسقاط المتعامد والمائل للزاوية المكانية على المستوى الأفقي

درس الهندسة في الصف العاشر

في أحد الدروس السابقة، تعرفت على مفهوم إسقاط نقطة على مستوى معين موازٍ لخط معين.

ستواصل في هذا الدرس دراسة الخطوط والمستويات؛ تعلم كيف تكون الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى. سوف تتعرف على مفهوم الإسقاط المتعامد على المستوى وتأخذ في الاعتبار خصائصه. سيقدم الدرس تعريفات للمسافة من نقطة إلى مستوى ومن نقطة إلى خط مستقيم، أي الزاوية بين خط مستقيم ومستوى. سيتم إثبات النظرية الشهيرة للثلاثة خطوط متعامدة.

الإسقاط الهجائي

الإسقاط المتعامد لنقطة وشكل.

الإسقاط المتعامد للجزء.

الإسقاط المتعامد للنقطة أ على مستوى معين يسمى إسقاط نقطة على هذا المستوى بالتوازي

خط مستقيم عمودي على هذا المستوى. الإسقاط الهجائي

الشكل على مستوى معين p يتكون من إسقاطات متعامدة على المستوى p لجميع نقاط هذا الشكل. غالبًا ما يستخدم الإسقاط الهجائي لتصوير الأجسام المكانية على المستوى، خاصة في الرسومات الفنية. إنه يعطي صورة أكثر واقعية من الإسقاط المتوازي التعسفي، خاصة للأجسام المستديرة.

عمودي ومائل

لنرسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة A، التي لا تنتمي إلى المستوى p، عموديًا على هذا المستوى ويتقاطع معه عند النقطة B. ثم

يتم استدعاء الجزء AB

عمودي،حذفت من النقطة

وإلى هذا المستوى، والنقطة B نفسها هي قاعدة هذا العمود. أي قطعة AC، حيث C

تسمى النقطة التعسفية للمستوى p، التي تختلف عن B، "مائلة".

هذه الطائرة.

لاحظ أن النقطة B في هذا التعريف متعامدة

إسقاط النقطة A والجزء AC - عمودي ومائل.إسقاط متعامد من المائل AB.

تتمتع الإسقاطات المتعامدة بجميع خصائص الإسقاطات المتوازية العادية، ولكنها تحتوي أيضًا على عدد من الخصائص الجديدة.

دع الخطوط المتعامدة والمائلة ترسم من نقطة واحدة إلى المستوى. ثم العبارات التالية صحيحة.

1. أي مستوى مائل يكون أطول من الإسقاط العمودي والمتعامد للمستوى المائل على هذا المستوى.

2. المائلة المتساوية لها إسقاطات متعامدة متساوية، والعكس صحيح، المائلة التي لها إسقاطات متساوية متساوية أيضًا.

3. تكون إحدى المائلتين أطول من الأخرى إذا وفقط إذا كان الإسقاط المتعامد للمائلة الأولى أطول من الإسقاط المتعامد للمائلة الثانية.

خصائص الإسقاط الهجائي

دليل.

دع AB متعامدًا وخطين مائلين AC و AD يرسمان من النقطة A إلى المستوى p؛ ثم المقطعان BC وBD عبارة عن إسقاطات متعامدة لهذه المقاطع على المستوى p.

دعونا نثبت العبارة الأولى: أي مستوى مائل يكون أطول من الإسقاط العمودي والمتعامد للمستوى المائل على هذا المستوى. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، AC المائل والمثلث ABC الذي يتكون من العمود AB، وهذا AC المائل، وإسقاطه المتعامد BC. هذا المثلث قائم الزاوية وله زاوية قائمة عند الرأس B والوتر AC، والذي، كما نعلم من قياس التخطيط، أطول من كل ساق من الأرجل، أي. والعمودي AB، والإسقاط BC.

من النقطة A إلى المستوى pi، يتم رسم عمودي AB واثنين مائلين AC وAD.

خصائص الإسقاط الهجائي

مثلثات

ABC وABD

متساوية في الساق والوتر.

والآن سنثبت العبارة الثانية، وهي: الأشكال المائلة المتساوية لها إسقاطات متعامدة متساوية، والعكس صحيح، فالخطوط المائلة التي لها إسقاطات متساوية متساوية أيضًا.

خذ بعين الاعتبار المثلثين القائمين ABC وABD. هم

لديهم ساق مشتركة AB. إذا كان AC وAD متساويين، فإن المثلثين القائمين ABC وABD متساويان في الساق والوتر، ومن ثم BC = BD. على العكس من ذلك، إذا كان الإسقاطان BC وBD متساويين، فإن هذين المثلثين متساويان على طول ساقين، ومن ثم فإن الوترين AC وAD متساويان.

يخالف الشرط. إذا كانت الشمس< BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.

يبقى الاحتمال الثالث: BC> BD. لقد تم إثبات النظرية.

إذا كان BC أكبر من BD،

ثم AC أكبر من الجانب

AE يساوي م.

كما ذكر أعلاه، الإسقاط المتعامد هو حالة خاصة من الإسقاط الموازي. في حالة الإسقاط المتعامد، تكون الأشعة المسقطة متعامدة مع مستوى الإسقاط.

يتكون جهاز هذا الإسقاط من مستوى إسقاط واحد.

للحصول على إسقاط متعامد للنقطة A، يجب رسم شعاع إسقاط من خلالها بشكل عمودي على P1. تسمى النقطة A1 إسقاطًا متعامدًا أو مستطيلًا للنقطة A.

للحصول على إسقاط إملائي أ1 ب1شريحة أ.ب، إلى الطائرة ص 1، ضروري من خلال النقاط أو فيرسم خطوط بارزة عموديا ص 1. عندما تتقاطع خطوط الإسقاط مع الطائرة ص 1نحصل على توقعات متعامدة أ 1و في 1نقاط أو في. من خلال ربط التوقعات المتعامدة أ 1و في 1نحصل على إسقاط متعامد أ1 ب1شريحة أ.ب.

جميع خصائص الإسقاط المتوازي صالحة أيضًا للإسقاط المتعامد. ومع ذلك، الإسقاطات المتعامدة لها بعض الخصائص الأخرى.

خصائص الإسقاط الهجائي:
1. طول القطعة يساوي طول إسقاطها مقسومًا على جيب تمام زاوية ميل القطعة إلى مستوى الإسقاط.

دعونا نأخذ خطا مستقيما أ.بوبناء إسقاطها المتعامد أ1 ب1الى الطائرة ص 1. إذا قمت برسم خط مستقيم مكيف || أ1 ب1ثم من المثلث اي بي سييتبع ذلك |AC| : |AB| = كوس أأو |أب| = |أ 1 ب 1 | :كوس أ، لأن |أ1 ب1 | = |AC|.

2. وبالإضافة إلى ذلك، للإسقاط المتعامد سيكون صحيحا نظرية إسقاط الزاوية اليمنى:

نظرية:إذا كان أحد جانبي الزاوية اليمنى على الأقل موازيًا لمستوى الإسقاط، والآخر ليس متعامدًا معه، فسيتم إسقاط الزاوية على هذا المستوى بالحجم الكامل.

دليل:

نظرا للزاوية الصحيحة اي بي سي، والتي حسب الشرط لها خط مستقيم قبل الميلاد أ بو شمس ||طائرات الإسقاط ص 1. من خلال البناء فهو مستقيم شمسإلى الشعاع البارز ب 1. لذلك، على التوالي شمسالى الطائرة ب (АВВВВ1)لأنه يقع على خطين متقاطعين يقعان في هذا المستوى. بشرط، على التوالي ب1 ج1 || شمسوبالتالي أيضًا إلى الطائرة ب، أي: ومباشرة أ1 ب1هذه الطائرة. وبالتالي الزاوية بين السطور أ1 ب1و ب1ج1يساوي 90 درجة، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

يوفر الإسقاط المتعامد بساطة الإنشاءات الهندسية عند تحديد الإسقاطات المتعامدة للنقاط، فضلاً عن القدرة على الحفاظ على شكل وأبعاد الشكل المسقط على الإسقاطات. وقد ضمنت هذه المزايا استخدام الإسقاط المتعامد على نطاق واسع في الرسم الفني.

تتيح طرق الإسقاط التي تم النظر فيها حل المشكلة المباشرة للهندسة الوصفية، أي إنشاء رسم مسطح من الأصل. تعطي الإسقاطات التي يتم الحصول عليها على مستوى واحد بهذه الطريقة فكرة غير مكتملة عن الكائن وشكله وموقعه في الفضاء، أي أن مثل هذا الرسم لا يمتلك خاصية الانعكاس.

للحصول على رسم عكسي، أي. الرسم الذي يعطي صورة كاملة لشكل وحجم وموضع الأصل في الفضاء؛ يتم استكمال الرسم المكون من صورة واحدة. اعتمادًا على الوظيفة الإضافية، هناك أنواع مختلفة من الرسومات.

1. مخطط Monge أو الإسقاطات المتعامدة.جوهر طريقة الإسقاط المتعامد (المستطيل) هو أن الأصل يتم عرضه بشكل متعامد على 2 أو 3 طائرات إسقاط متعامدة بشكل متبادل، ثم يتم دمجها مع مستوى الرسم.
2. الرسم المحوري.جوهر الرسم المحوري هو أن الأصل يرتبط أولاً بشكل صارم بنظام الإحداثيات الديكارتية أوكسيس، قم بإسقاطه بشكل متعامد على إحدى مستويات العرض أوكسي، أو OXZ. ثم، من خلال الإسقاط المتوازي، يتم العثور على إسقاط موازي للهيكل الناتج: محاور الإحداثيات الثور، أوي، أوز،الإسقاط الثانوي والأصلي.
3. منظور الرسم.عند إنشاء رسم منظوري، يقوم المرء أولاً ببناء إسقاط متعامد واحد، ثم على مستوى الصورة، يتم العثور على الإسقاط المركزي للإسقاط الإملائي الذي تم إنشاؤه مسبقًا والأصل نفسه.
4. الإسقاطات ذات العلامات الرقمية، وما إلى ذلك.للحصول على إسقاطات ذات علامات رقمية، يتم إسقاط الأصل بشكل متعامد على مستوى مستوى الصفر ويتم الإشارة إلى المسافة من النقاط الأصلية إلى هذا المستوى.

دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول دراسة الإسقاطات المستطيلة والرسم المحوري.

لنفترض وجود خط L ونقطة A على المستوى، فلنسقط خطًا عموديًا من النقطة A إلى الخط L (الشكل 1.8، أ). ثم تسمى قاعدتها (النقطة O). إسقاط متعامد للنقطة A على الخط L. إذا تم إعطاء خط L ونقطة A في الفضاء، ففي هذه الحالة يكون الإسقاط المتعامد للنقطة A على الخط L هو النقطة O من تقاطع الخط L مع مستوى متعامد عليه ويمر عبر النقطة A (الشكل 1.8) ، ب). إذا كانت النقطة A تقع على الخط L، فإنها تتزامن مع إسقاطها المتعامد على L.

بالنسبة للمتجه - AB (على المستوى أو في الفضاء)، يمكنك إنشاء إسقاطات متعامدة على الخط المستقيم L منه بداية ونهاية(الشكل 1.9). يسمى المتجه O A O B الذي يربط هذه الإسقاطات O A و O B ويقع على الخط المستقيم L إسقاط متعامد للمتجه AB على الخطل.

يسمى الخط المستقيم الذي يُعطى عليه أحد الاتجاهين المحتملين محور. تتم الإشارة إلى الاتجاه المحدد على المحور بواسطة سهم في النهاية المقابلة للمحور. يمكن وصف الإسقاط المتعامد O A O B للمتجه AB على المحور l بشكل كامل طولالمتجه O A O B، مع تعيين إشارة إليه،

تشير إلى اتجاه المتجه. إذا كان الاتجاه O A O B يوافق الاتجاه المعطى للمحور فخذ علامة الزائد، وإذا كان اتجاه المتجه معاكسًا لاتجاه المحور فخذ علامة الطرح. يسمى طول المتجه O A O B مع الإشارة التي تحدد اتجاه هذا المتجه إسقاط متعامد للمتجه AB على المحورل وتدل على العلاقات العامة ل أ.

دعونا نلاحظ أن الإسقاط المتعامد للمتجه على المحور هو رقم، في حين أن الإسقاط المتعامد للمتجه على الخط هو متجه. لكي يتوافق المتجه مع رقم كإسقاط له، يجب اختيار أحد الاتجاهين المحتملين على الخط المستقيم.

كل ناقلات غير صفرية l يحدد المحور بشكل فريد: يمكن اعتباره يقع على خط مستقيم معين وتحديد الاتجاه عليه. يسمى الإسقاط المتعامد للمتجه على مثل هذا المحور الإسقاط المتعامد لهذا المتجه على الاتجاهناقلات ل.

تسمى الزاوية المحصورة بين اتجاهي متجهين غير الصفر الزاوية بين هذه المتجهات. يمكن أن تختلف الزاوية من 0 إلى π. تتوافق القيم المتطرفة 0 و π ناقلات خطية، على التوالى أحادية الاتجاه ومعاكسة الاتجاه. إذا كان هناك واحد على الأقل من ناقلين صفر، فإن الزاوية بين هذه المتجهات غير محددة. ومع ذلك، فمن الملائم أن نفترض أن الزاوية في هذه الحالة لها قيمة تعسفية. وبالتالي، فإن المتجه الصفري يكون على خط واحد مع أي متجه آخر، والذي يتوافق رسميًا مع الزاوية 0 (أو π). يتم اختيار القيمة المحددة المخصصة للزاوية بين المتجه الصفري وبعض المتجهات الأخرى بناءً على الموقف.

نظرية 1.1.الإسقاط المتعامد للمتجه a على اتجاه المتجه غير الصفري l يساوي الطول |a| مضروبًا في جيب تمام الزاوية φ بين المتجهين a وl، أي.

العلاقات العامة ل = أ|أ| كوس

أين هي الزاوية بين المتجهات a و l

◄ ليكن المتجه l يقع على الخط L، وبدايته هي النقطة A. ولنحاذي بداية المتجه a مع النقطة A، ولتكن نهايته النقطة B (الشكل 1.10). لنقم بإنشاء إسقاط متعامد C للنقطة B على الخط L. ثم المتجه AC هو إسقاط متعامد للمتجه a = AB على الخط L.

إذا كانت الزاوية φ بين المتجهين a وl حادة (كما هو موضح في الشكل 1.10، أ)، فإن نهاية المتجه l والنقطة C تقع على جانب واحد من النقطة A. في هذه الحالة، يكون إسقاط a على الاتجاه المتجه l يساوي الطول |AC| = |أب| cosφ الساق AC للمثلث ABC.

إذا كانت الزاوية φ منفرجة (انظر الشكل 1.10، ب)، فإن نهاية المتجه l والنقطة C تقع على جانبين متقابلين من النقطة A. وهذا يعني أن المتجهين AC و l لهما اتجاهان متعاكسان، وإسقاط المتجه أ يساوي - |AC| . في المثلث ABC، الزاوية ψ المجاورة للجانب AC تساوي π - φ، وبالتالي |AC| = |أب| cos(π - φ) = - |AB| كوسφ.

إذا كانت φ = π/2 أو a = 0، فإن النقطة C تتطابق مع النقطة A ويكون المتجه AC هو المتجه الصفري. ومع ذلك، cosπ/2 = 0، وبالتالي، في هذه الحالة النظرية صالحة أيضًا.

نظرية 1.2.الإسقاط المتعامد لمجموع المتجهات على اتجاه متجه غير الصفر يساوي مجموع إسقاطاتها المتعامدة على اتجاه هذا المتجه، وعندما يضرب المتجه بعدد فإن إسقاطه المتعامد على اتجاه هذا المتجه يتم ضرب المتجه غير الصفري بنفس الرقم:

العلاقات العامة l (a + b) = العلاقات العامة l a + العلاقات العامة l b, العلاقات العامة l (α) - lectpr l a.

◄ والدليل من الشكل . 1.11. في الحالة الموضحة في الشكل. 1.11, a, لدينا pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |أب| - |قبل الميلاد|. في الحالة الموضحة في الشكل. 1.11, ب, العلاقات العامة l a = |AB| وإذا كانت π > 0، فإن pr l (πa) = |AE| = ε|AB|. يتم النظر بالمثل في الخيارات المتبقية (النقطة C لا تنتمي إلى المقطع AB في الحالة a، lect ≥ 0 في الحالة b).

الزاوية بين AB المائل والمستوى DAC تساوي 30* - وهذه هي الزاوية BAC تساوي 45 (المثلث DAB هو مثلث متساوي الساقين مستطيل)، مما يعني DA=BDBA=DA*root(2) AC. =AB*cos (BAC)=AB*cos 30 =DA*root(2)*root(3)/2==DA*root(6)/2 بواسطة نظرية ثلاثة خطوط متعامدة DC متعامد مع AD كوس (CAD) = cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*root(6)/2)=2/root(6)= الجذر(2/3)زاوية CAB = أركوس (2/3)

مهام مماثلة:

الضلع AB للمعين ABCD يساوي a، وقياس إحدى الزوايا 60 درجة. يُرسم مستوى ألفا عبر الضلع AB على مسافة a/2 من النقطة D.
أ) أوجد المسافة من النقطة C إلى مستوى ألفا.
ب)أظهر في الشكل زاوية ثنائي السطوح الخطية DABM. م ينتمي إلى ألفا.
ج) أوجد جيب الزاوية المحصورة بين مستوى المعين ومستوى ألفا.

الضلع AB للمعين ABCD يساوي a، وقياس إحدى الزوايا 60 درجة. يتم رسم مستوى ألفا عبر الضلع AB على مسافة a/2 من النقطة D. أ) أوجد المسافة من النقطة C إلى مستوى ألفا. ب)أظهر في الشكل زاوية ثنائي السطوح الخطية DABM. م ينتمي إلى ألفا. ج) أوجد جيب الزاوية المحصورة بين مستوى المعين ومستوى ألفا.

الضلع AB للمعين ABCD يساوي a، وقياس إحدى زواياه 60 درجة. يُرسم مستوى ألفا عبر الضلع AB على مسافة a2 من النقطة D.

أ) أوجد المسافة من النقطة C إلى مستوى ألفا.

ب) أظهر في الشكل الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح DABM، M تنتمي إلى pl. ألفا.

ج) أوجد جيب الزاوية المحصورة بين مستوى المعين ومستوى ألفا.