Как было сказано выше, силовые линии условились проводить с такой густотой, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было бы равно модулю вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить не только о направлении, но и величине вектора в различных точках пространства.

Рассмотрим силовые линии неподвижного положительного точечного заряда. Они представляют собой радиальные прямые, выходящие из заряда и заканчивающиеся на бесконечности. Проведем N таких линий. Тогда на расстоянии r от заряда число силовых линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса r , будет равно . Эта величина пропорциональна напряженности поля точечного заряда на расстоянии r. Число N всегда можно выбрать таким, чтобы выполнялось равенство

откуда . Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает замкнутую поверхность любой формы, охватывающую заряд q. В зависимости от знака заряда силовые линии либо входят в эту замкнутую поверхность, либо выходят наружу. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих – отрицательным, то можно опустить знак модуля и записать:

.

(1.4)

Поток вектора напряженности. Поместим в электрическое поле элементарную площадку, имеющую площадь . Площадка должна быть настолько малой, чтобы напряженность электрического поля во всех ее точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль к площадке (рис. 1.17). Направление этой нормали выбирается произвольно. Нормаль составляет угол с вектором . Потоком вектора напряженности электрического поля через выделенную поверхность называется произведение площади поверхности на проекцию вектора напряженности электрического поля на нормаль к площадке:

где – проекция вектора на нормаль к площадке .

Поскольку число силовых линий, пронизывающих единичную площадку, равно модулю вектора напряженности в окрестности выделенной площадки, то поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Поэтому, в общем случае, наглядно поток вектора напряженности поля через площадку можно интерпретировать как величину, равную числу силовых линий, пронизывающих эту площадку:

.

(1.5)

Заметим, что выбор направления нормали условен, ее можно направить и в другую сторону. Следовательно, поток – величина алгебраическая: знак потока зависит не только от конфигурации поля, но и от взаимной ориентации вектора нормали и вектора напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен. В случае замкнутой поверхности принято нормаль брать наружу области, охватываемой этой поверхностью, то есть выбирать внешнюю нормаль.

Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью , вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы:

Таким образом, напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади.

Силовые линии электрического поля могут начинаться только на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных. Они не могут начинаться или обрываться в пространстве. Поэтому, если внутри некоторого замкнутого объема нет электрического заряда, то полное число линий, входящих в данный объем и выходящих из него, должно равняться нулю. Если из объема выходит больше линий, чем входит в него, то внутри объема находится положительный заряд; если входит линий больше, чем выходит, то внутри должен быть отрицательный заряд. При равенстве полного заряда внутри объема нулю или при отсутствии в нем электрического заряда линии поля пронизывают его насквозь, и полный поток равен нулю.

Эти простые соображения не зависят от того, как электрический заряд распределен внутри объема. Он может находиться в центре объема или вблизи поверхности, ограничивающей объем. В объеме может находиться несколько положительных и отрицательных зарядов, распределенных внутри объема любым способом. Только суммарный заряд определяет полное число входящих или выходящих линий напряженности.

Как видно из (1.4) и (1.5), поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд q, равен . Если внутри поверхности находится n зарядов, то, согласно принципу суперпозиции полей, полный поток будет складываться из потоков напряженностей полей всех зарядов и будет равен , где под в этом случае подразумевается алгебраическая сумма всех зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью.

Теорема Гаусса. Гаусс первым обнаружил тот простой факт, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность должен быть связан с полным зарядом, находящимся внутри этого объема:

Гаусс Карл Фридрих (1777–1855)

Великий немецкий математик, физик и астроном, создатель абсолютной системы единиц в физике. Разработал теорию электростатического потенциала и доказал важнейшую теорему электростатики (теорема Гаусса). Создал теорию построения изображений в сложных оптических системах. Одним из первых пришел к мысли о возможности существования неевклидовой геометрии. Кроме того, Гаусс внес выдающийся вклад практически во все разделы математики.

Последнее соотношение и представляет собой теорему Гаусса для электрического поля:поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности.Коэффициент пропорциональности зависит от выбора системы единиц.

Следует отметить, что теорема Гаусса получается как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Если бы напряженность электрического поля изменялась бы не обратно пропорционально квадрату расстояния, то теорема оказалась бы несправедливой. Поэтому теорема Гаусса применима к любым полям, в которых строго выполняется закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например, к гравитационному полю. В случае гравитационного поля роль зарядов, создающих поле, играют массы тел. Поток линий гравитационного поля через замкнутую поверхность пропорционален полной массе, заключенной внутри этой поверхности.

Напряженность поля заряженной плоскости. Применим теорему Гаусса для определения напряженности электрического поля бесконечной заряженной плоскости. Если плоскость бесконечна и заряжена равномерно, то есть поверхностная плотность заряда одинакова в любом ее месте, то линии напряженности электрического поля в любой точке перпендикулярны этой плоскости. Чтобы показать это, воспользуемся принципом суперпозиции для вектора напряженности. Выделим два элементарных участка на плоскости, которые можно считать точечными для точки А , в которой необходимо определить напряженность поля. Как видно из рис. 1.18, результирующий вектор напряженности будет направлен перпендикулярно плоскости. Поскольку плоскость можно разбить на бесконечное количество пар таких участков для любой точки наблюдения, то, очевидно, что силовые линии поля заряженной плоскости перпендикулярны к плоскости, и поле является однородным (рис. 1.19). Если бы это было не так, то при перемещении плоскости вдоль самой себя поле в каждой точке пространства менялось, но это противоречит симметрии заряженной системы (плоскость бесконечна). В случае положительно заряженной плоскости силовые линии начинаются на плоскости и заканчиваются на бесконечности, а для отрицательно заряженной плоскости силовые линии начинаются на бесконечности и входят в плоскость.

Рис. 1.18	Рис. 1.19

Для определения напряженности электрического поля бесконечной положительно заряженной плоскости мысленно выделим в пространстве цилиндр, ось которого перпендикулярна заряженной плоскости, а основания параллельны ей, и одно из оснований проходит через интересующую нас точку поля (рис. 1.19). Цилиндр вырезает из заряженной плоскости участок площадью , и такую же площадь имеют основания цилиндра, расположенные по разные стороны от плоскости.

Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра связан с электрическим зарядом внутри цилиндра выражением:

.

Так как линии напряженности пересекают лишь основания цилиндра, поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Поэтому поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность будет складываться только из потоков через основания цилиндра, следовательно,

Сравнивая два последних выражения для потока вектора напряженности, получим

Напряженность электрического поля между разноименно заряженными пластинами. Если размеры пластин значительно превосходят расстояние между ними, то электрическое поле каждой из пластин можно считать близким к полю бесконечной равномерно заряженной плоскости. Так как линии напряженности электрического поля разноименно заряженных пластин между пластинами направлены в одну сторону (рис. 1.20), то напряженность поля между пластинами равна

.

Во внешнем пространстве линии напряженности электрического поля разноименно заряженных пластин имеют противоположные направления, поэтому вне этих пластин результирующая напряженность электрического поля равна нулю. Полученное для напряженности выражение справедливо для больших заряженных пластин, когда напряженность определяется в точке, расположенной далеко от их краев.

Напряженность электрического поля равномерно заряженной тонкой проволоки бесконечной длины. Найдем зависимость напряженности электрического поля равномерно заряженной тонкой проволоки бесконечной длины от расстояния до оси проволоки, используя теорему Гаусса. Выделим участок проволоки конечной длины . Если линейная плотность заряда на проволоке , то заряд выделенного участка равен .

Черноуцан А. И. Силовые линии и теорема Гаусса //Квант. - 1990. - № 3. - С. 52-55.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Из школьного курса физики вы знаете, что наглядное представление об электрическом поле можно получить по картинке силовых линий (договоримся под «электрическим» полем здесь понимать электростатическое поле). Проводя касательную к силовой линии, мы узнаём направление вектора напряженности (стрелки на линиях укажут, куда именно направить этот вектор), сравнивая густоту силовых линий в разных местах (т. е. число силовых линий, проходящих через единичную площадку перпендикулярно к ней), выясняем, где и во сколько раз больше величина напряженности. Однако значение силовых линий этим не исчерпывается.

Хорошо знакомое вам свойство непрерывности линий в пустом пространстве отражает, на самом деле, важнейшее свойство электрического поля. Сформулируем его: электрическое поле устроено так, что можно проводить силовые линии, соблюдая правило густоты и не обрывая их при этом в пустом пространстве между зарядами; линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; на каждом заряде начинается (или заканчивается) число линий, пропорциональное его величине.

Вы удивлены? Вам это свойство кажется очевидным, само собой разумеющимся? Это далеко не так. Будь закон Кулона чуть-чуть иным, и провести силовые линии непрерывно уже не удалось бы. Возьмем, к примеру, точечный заряд. По мере удаления от него густота силовых линий уменьшается. Так, при увеличении расстояния от заряда в 2 раза густота линий уменьшится в 4 раза (число линий не изменится, а площадь поверхности сферы увеличится в 4 раза). Во столько же раз уменьшится и напряженность электрического поля. Но только благодаря тому, что в законе Кулона стоит \(~\frac{1}{r^2}\)! Если бы, например, там было \(~\frac{1}{r^3}\), то напряженность уменьшилась бы не в 4, а в 8 раз, и для соблюдения правила густоты половину силовых линий пришлось бы оборвать на пути от r до 2r . И это в пустом пространстве!

Математически строгим выражением свойства непрерывности силовых линий электрического поля является теорема Гаусса. Для того чтобы сформулировать и доказать ее, нам надо сначала перейти от качественного языка силовых линий к точным количественным представлениям. Начнем с того, что несколько перефразируем свойство непрерывности линий.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность. Если внутри поверхности зарядов нет, то число вышедших из нее линий в точности равно числу вошедших. Удобно входящие линии учитывать наряду с выходящими, но приписывать им знак «минус». Тогда можно сказать, что полное число выходящих из «пустой» поверхности силовых линий равно нулю. Если же внутри поверхности находится какой-нибудь заряд, то, очевидно, что полное число линий, выходящих из поверхности, будет пропорционально величине этого заряда . Это и есть качественная формулировка теоремы Гаусса. Но - пойдем дальше.

Введем скалярную величину Φ - ее называют потоком вектора напряженности через некоторую маленькую площадку:

\(~\Phi = ES \cos \alpha\) . (1)

Здесь \(~\vec E\) - напряженность поля в месте нахождения выбранной площадки (раз площадка маленькая, поле можно считать однородным), S - площадь площадки, α - угол между вектором \(~\vec E\) и вектором \(~\vec n\) нормали к площадке. Посмотрите на рисунок 1: число силовых линий, пронизывающих площадку S , равно произведению их густоты на площадь поперечной площадки \(~S_{\perp} = S \cos \alpha\). Так как густота линий пропорциональна Е , полное число силовых линий, проходящих через площадку, пропорционально потоку Φ . Всем силовым линиям, выходящим из некоторой замкнутой поверхности, соответствует поток через всю эту поверхность (т. е. сумма потоков через отдельные маленькие участки поверхности). Чтобы выходящие линии давали положительный вклад в поток, а входящие - отрицательный, договоримся, чтобы нормаль к поверхности всюду «смотрела» наружу.

Теперь понятно, что теорему Гаусса можно сформулировать так: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду, заключенному внутри этой поверхности . Чтобы доказать эту теорему, а заодно и вычислить коэффициент пропорциональности, рассмотрим сначала простое, но очень важное свойство величины Φ .

Запишем формулу (1) в виде \(~\Phi = (E \cos \alpha) S = E_n S\), где E n - проекция вектора \(~\vec E\) на направление нормали \(~\vec n\). Если поле создается несколькими зарядами, то по принципу суперпозиции \(~\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \ldots + \vec E_k\). Но проекция суммы векторов равна сумме проекций: E n = E 1n + E 2n + … + E kn . Отсюда получаем, что полный поток вектора напряженности равен сумме потоков, создаваемых отдельными зарядами: Φ = Φ 1 + Φ 2 + … + Φ k . Поэтому можно говорить о вкладе в полный поток от каждого отдельного заряда.

Докажем вначале, что вклад в поток от точечного заряда q , находящегося вне замкнутой поверхности, равен нулю. Рассмотрим два маленьких участка поверхности, отсекаемых узким конусом (рис. 2). Имеем

\(~\begin{matrix} \Phi_1 = E_1 S_1 \cos \alpha_1 = -E_1 S_{1 \perp} \\ \Phi_2 = E_2 S_2 \cos \alpha_2 = E_2 S_{2 \perp} \end{matrix}\) ,

где \(~E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2_1}\) , \(~E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2_2}\) .

Из подобия следует, что

\(~\frac{r^2_1}{r^2_2} = \frac{S_{1 \perp}}{S_{2 \perp}}\) .

Таким образом,

\(~\Phi_1 = -\Phi_2\) , или \(~\Phi_1 + \Phi_2 = 0\).

Аналогичное взаимное уничтожение потоков происходит и для любой другой пары соответствующих участков.

Вычислим теперь вклад в поток от точечного заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности. Окружим заряд сферической поверхностью радиусом r (рис. 3). Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что в этом случае Φ 1 = Φ 2 , т. е. что поток через рассматриваемую произвольную поверхность равен потоку через сферу. А поток через сферу вычислить легко:

\(~\Phi = ES = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} 4 \pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}\) .

Таким образом, мы пришли к окончательной формулировке теоремы Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен полному заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную, т. е.

\(~\Phi = \frac{\sum q_{vnutr}}{\varepsilon_0}\) . (2)

Перейдем теперь к самому приятному - начнем пожинать плоды. Первое применение теоремы Гаусса - это вычисление напряженности электрического поля. Сразу оговоримся, что круг задач, решаемых таким способом, не очень широк (в отличие от способа, основанного на использовании принципа суперпозиции). Но все же он существует. Если мы, например, заранее знаем направление вектора напряженности во всех интересующих нас точках пространства, если удалось выбрать замкнутую поверхность, для которой вычисление потока вектора напряженности является простым, то тогда, может быть, нас ждет успех. Но зато какой успех!

Как известно, много лет потребовалось Ньютону, чтобы доказать, что сила притяжения материальной частицы к шару (Земле) не изменится, если всю массу шара сконцентрировать в его центре. Для проведения доказательства с помощью принципа суперпозиции ему пришлось существенно развить интегральное исчисление. А теперь смотрите, как мы просто справимся с практически такой же задачей. Возьмем шар, равномерно заряженный зарядом Q , и вычислим поле вне его - на расстоянии r от его центра (рис. 4). Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности поля \(~\vec E\) всюду направлен по радиусу. Выразим поток вектора напряженности через сферу радиусом r двумя способами. По определению потока

\(~\Phi = ES = 4 \pi E r^2\) ,

а по теореме Гаусса

\(~\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}\) .

Отсюда получаем

\(~E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\)

Поле заряженного шара вне его совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центр шара.

Другой пример: найдем напряженность поля бесконечной заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ (рис. 5). Из симметрии понятно, что вектор \(~\vec E\) всюду перпендикулярен плоскости. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра, расположенного симметрично относительно плоскости. Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а через каждое основание площадью S он равен ES , т. е.

\(~\Phi = 2 ES\) .

Но по теореме Гаусса

\(~\Phi = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0}\) .

Приравнивая правые части обоих равенств, получаем

\(~E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) .

Наконец, последний пример. Он касается одного очень важного свойства проводников. Покажем, что статические заряды проводника всегда располагаются на его поверхности. Доказательство очень простое. Раз напряженность поля внутри проводника равна нулю (иначе возникло бы движение свободных зарядов), то поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, проведенную внутри проводника, равен нулю. А это означает, что равен нулю и заряд внутри любой сколь угодно малой поверхности в толще проводника. Следовательно, все заряды проводника действительно располагаются на его поверхности.

А теперь - важное замечание. Доказательство электронейтральности объема проводника опирается на теорему Гаусса, которая, как и свойство непрерывности силовых линий, верна только в том случае, если в законе Кулона стоит \(~\frac{1}{r^2}\). Вывод: справедливость закона Кулона можно проверить экспериментально. Для этого достаточно убедиться в электронейтральности толщи проводника.

Вот видите, как много интересного может рассказать лишь одна теорема - теорема Гаусса.

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS . Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1.3.1):

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S . Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS i , определить элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.3.2):

В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .

Теорема Гаусса утверждает:

Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .

Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность S , в центре которой находится точечный заряд q . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю

где R – радиус сферы. Поток Φ через сферическую поверхность будет равен произведению E на площадь сферы 4πR 2 . Следовательно,

Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью S и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса R 0 (рис. 1.3.3).

Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS 0 , а на поверхности S – площадку ΔS . Элементарные потоки ΔΦ 0 и ΔΦ через эти площадки одинаковы. Действительно,

ΔΦ 0 = E 0 ΔS 0 , ΔΦ = E ΔS cos α = E ΔS ‘ .

Здесь ΔS’ = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n .

Так как , a , следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:

Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность S не охватывает точечного заряда q , то поток Φ = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S будет складываться из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Если заряд q i оказался внутри поверхности S , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.

Таким образом, теорема Гаусса доказана.

Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса R . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πrl , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:

Этот результат не зависит от радиуса R заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.

Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая r < R . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.

Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

В этом случае гауссову поверхность S целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:

где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.

Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.

Когда зарядов много, при расчётах полей возникают некоторые трудности.

Преодолеть их помогает теорема Гаусса. Суть теоремы Гаусса сводится к следующему: если произвольное количество зарядов мысленно окружить замкнутой поверхностью S, то поток напряжённости электрического поля через элементарную площадку dS можно записать как dФ = Есоsα۰dS где α - угол между нормалью к плоскости и вектором напряжённости . (рис.12.7)

Полный же поток через всю поверхность будет равен сумме потоков от всех зарядов, произвольным образом распределённых внутри её и пропорционально величине этого заряда

(12.9)

Определим поток вектора напряжённости сквозь сферическую поверхность радиуса r, в центре которой расположен точечный заряд +q (рис.12.8). Линии напряжённости перпендикулярны поверхности сферы, α =0, следовательно соsα = 1. Тогда

Если поле образовано системой зарядов, то

Теорема Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную.

(12.10)

Если внутри сферы зарядов нет, то Ф = 0.

Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто рассчитать электрические поля при симметрично распределённых зарядов.

Введём понятие о плотности распределенных зарядов.

Линейная плотность обозначается τ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу длины ℓ. В общем виде может быть рассчитана по формуле

(12.11)

При равномерном распределении зарядов линейная плотность равна

Поверхностная плотность обозначается σ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу площади S. В общем виде определяется по формуле

(12.12)

При равномерном распределении зарядов по поверхности поверхностная плотность равна

Объёмная плотность обозначается ρ, характеризует заряд q, приходящийся на единицу объёма V. В общем виде определяется по формуле

(12.13)

При равномерном распределении зарядов она равна
.

Так как заряд q располагается на сфере равномерно, то

σ = const. Применим теорему Гаусса. Проведём сферу радиусом через точку А. Поток вектора напряжённости рис.12.9 сквозь сферическую поверхность радиуса равен соsα = 1, так как α = 0. По теореме Гаусса,
.

или

(12.14)

Из выражения (12.14) следует, что напряжённость поля вне заряженной сферы такая же, как напряжённость поля точечного заряда, помещённого в центре сферы. На поверхности сферы, т.е. r 1 = r 0 , напряжённость
.

Внутри сферы r 1 < r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Цилиндр радиусом r 0 равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ (рис.12.10). Определим напряжённость поля в произвольно выбранной точке А. Проведём через точку А воображаемую цилиндрическую поверхность радиусом R и длиной ℓ. Вследствие симметрии поток будет выходить только через боковые поверхности цилиндра, так как заряды на цилиндре радиуса r 0 распределены по его поверхности равномерно, т.е. линии напряжённости будут радиальными прямыми, перпендикулярными боковым поверхностям обоих цилиндров. Так как поток через основание цилиндров равен нулю (cos α = 0), а боковая поверхность цилиндра перпендикулярна силовым линиям (cos α = 1), то

или

(12.15)

Выразим величину Е через σ - поверхностную плотность. По определению,

следовательно,

Подставим значение q в формулу (12.15)

(12.16)

По определению линейной плотности,
, откуда
; подставляем это выражение в формулу (12.16):

(12.17)

т.е. напряжённость поля, создаваемого бесконечно длинным заряженным цилиндром, пропорциональна линейной плотности заряда и обратно пропорциональна расстоянию.

Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью

Определим напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью в точке А. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости равна σ. В качестве замкнутой поверхности удобно выбрать цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а правое основание содержит точку А. Плоскость делит цилиндр пополам. Очевидно, что силовые линии перпендикулярны плоскости и параллельны боковой поверхности цилиндра, поэтому весь поток проходит только через основания цилиндра. На обоих основаниях напряжённость поля одинакова, т.к. точки А и В симметричны относительно плоскости. Тогда поток, через основания цилиндра равен

Согласно теореме Гаусса,

Так как
, то
, откуда

(12.18)

Таким образом, напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.

Напряжённость поля, создаваемого двумя разноименно равномерно заряженными параллельными плоскостями

Результирующее поле, создаваемое двумя плоскостями, определяется по принципу суперпозиции полей:
(рис.12.12). Поле, создаваемое каждой плоскостью, является однородным, напряжённости этих полей равны по модулю, но противоположны по направлению:
. По принципу суперпозиции напряжённость суммарного поля вне плоскости равна нулю:

Между плоскостями напряжённости полей имеют одинаковые направления, поэтому результирующая напряжённость равна

Таким образом, поле между двумя разноименно равномерно заряженными плоскостями однородно и его напряжённость в два раза больше, чем напряжённость поля, создаваемого одной плоскостью. Слева и справа от плоскостей поле отсутствует. Такой же вид имеет и поле конечных плоскостей, искажение появляется только вблизи их границ. С помощью полученной формулы можно рассчитать поле между обкладками плоского конденсатора.

ЛЕКЦИЯ № 7.ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУСА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

ВВЕДЕНИЕ

На данной лекции мы продолжаем знакомиться с важнейшими характеристиками электростатического поля.

Введение понятия электрической индукции связано, прежде всего, с удобством описания электростатического поля и упрощением решения многих задач электростатики, главным образом, связанных с электростатическим полем в диэлектриках.

Дело в том, что еще одна величина, характеризующая электростатическое поле, – поток вектора индукции электростатического поля через любую поверхность определяется только свободными зарядами, а не всеми зарядами внутри, объема, ограниченного данной поверхностью.

При дальнейшем изучении электрических и магнитных полей мы еще не раз встретимся с аналогичными понятиями - индукция магнитного поля, поток магнитной индукции. Физический смысл этих понятий конечно разный, но математическая природа у них, совершенно эквивалентна.

1. ПОТОК ВЕКТОРА ИНДУКЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Как известно, напряженность электростатического поля зависит от свойств ср еды: в однородной изотропной среде напряженность поля обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости .

Поэтому при переходе из одной среды в другую напряженность электростатического поля претерпевает скачкообразные изменения, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Именно поэтому оказалось необходимым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще одной векторной величиной – вектором электрического смещения или вектором индукции электростатического поля.

Определение. Электрическим смещением (электрической индукцией) называется векторная физическая величина равная произведению абсолютной диэлектрической проницаемости среды на напряженность электрического поля.

, (1)

где величина называется абсолютной диэлектрической проницаемостью среды.

Из формулы (1) следует, что вектор электрической индукции и вектор напряженности электростатического поля для изотропных сред, т.е. сред, свойства которых одинаковы по всем направлениям, всегда коллинеарны , так какабсолютная диэлектрическая проницаемость – величина строго положительная .

Найдем индукцию электрического поля точечного заряда.

Рис.1

(2)

Из формулы (2) видно, что, действительно, величина не зависит от свойств ср еды. Величина одинакова во всех средах (вода, керосин и т.д.).

Размерность электрической индукции в системе СИ:

Для графического изображения электростатического поля можно использовать линии электрического смещения .

Определение. Линии индукции электрического поля - это воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором индукции электрического поля в данной точке.

Рассмотрим электрическое поле, характеризуемое вектором электрического смещения . Пусть в этом поле находится некоторая элементарная плоская поверхность площадью - (рис.2).

Рис.2

Построим к поверхности единичную нормаль , направим ее "наружу". Затем введем вектор ориентированной площадки , равный произведению площади этой элементарной поверхности на вектор единичной нормали:

Очевидно, что и , так как .

Определение Элементарным потоком вектора электрической индукции через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению вектора на векторориентированной площадки .

где - угол между вектором индукции и нормалью к поверхности , - проекция вектора электрической индукции на направление нормали .

Полный поток вектора через любую поверхность равен сумме элементарных потоков через элементарные поверхности, на которые можно разбить данную поверхность произвольной формы, то есть:

(4)

Размерность потока электрической индукциив системе СИ – кулон:

.

Замечание.

1) Для замкнутых поверхностей S поток вектора через эту поверхность равен:

()

За положительное направление нормали принимается направление внешней нормали, т.е. нормали, направленной наружу области, охватываемой поверхностью.

В данной части лекции мы изучили новые физические величины, характеризующие электрическое поле – индукцию электрического поля и поток вектора индукции электрического поля. Вектор электрическойиндукции является вспомогательной величиной, но, тем не менее, играет важную роль в процессе изучения электрического поля. Аналогичные величины будут введены при изучении магнитного поля.

2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА

Вычислить напряженность поля, создаваемого системой зарядов, можно, как известно, с помощью принципа суперпозиции электростатических полей. Но это в большинстве случаев связано с громоздкими вычислениями.

Эти расчеты можно значительно упростить, если использовать основную теорему электростатики, теорему Остроградского-Гаусса, определяющую поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность.

Теорема Остроградского-Гаусса формулируется следующим образом:

«Поток индукции электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности».

Математически теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей записывается следующим образом:

= (5)

Замечания.

1) Поверхность обязательно должна быть замкнутой, форма поверхности не играет роли и может быть любой.

2) Если поверхность S не охватывает заряды , то поток электрической индукции через нее равен нулю (рис.3):

Рис.3

3) Если алгебраическая сумма зарядов равна 0, то и поток равен нулю.

Значение теоремы Остроградского-Гаусса огромно – она позволяет найти индукцию и напряженность электрического поля сложной конфигурации.

Алгоритм (схема) использования теоремы О c троградского-Гаусса при расчете напряженности электростатического поля, создаваемого произвольной конфигурацией зарядов, состоит из следующих пунктов:

1) Выбираем точку, в которой будем определять и

2) Через эту точку проводим замкнутую поверхность , охватывающую все заряды;

3) Вычисляем поток электрической индукции через эту поверхность по определению, то есть по формуле:

4) Считаем этот же поток, но по теореме Остроградского – Гаусса:

(5)

5) Приравниваем полученные в третьем и четвертом пункте выражения и находим величину электрической индукции в данной точке:

6) Зная электрическую индукцию , легко определить величину напряженности электростатического поля в данной точке :

Как уже говорилось выше, теорема Остроградского-Гаусса является одной из основных теорем электростатики, с помощью которой легко вычислить напряженность и электрическую индукцию электростатических полей различной конфигурации. Алгоритм применения теоремы Остроградского-Гаусса должен знать наизусть каждый студент.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧСЕКИХ ПОЛЕЙ

Часто при решении задач удобно считать, что заряды распределены в заряженном теле непрерывно – вдоль некоторой линии (например, в случае заряженного тонкого стержня), поверхности (например, в случае заряженной пластины), или объёма. Соответственно пользуются понятиями линейной, поверхностной и объёмной плотностей зарядов.

Объёмная плотность электрических зарядов это скалярная физическая величина равная отношению заряда тела к объему тела, по которому распределен заряд:

Если зарядраспределен равномерно по объему тела, то объемная плотность заряда есть постоянная величина и ее легко рассчитать по формуле:

Размерность объемной плотности зарядов определяется из указанных формул и в интернациональной системе единиц равна: .

Поверхностная плотность электрических зарядов определяется аналогичным образом – это скалярная физическая величина равная отношению заряда всей поверхности к площади этой поверхности:

Поверхностная плотность зарядов измеряется в системе СИ в кулонах, деленных на квадратный метр:

Линейной плотностью электрических зарядов называется скалярная физическая величина равная отношению заряда протяженного тела к длине этого тела:

Размерность линейной плотности зарядов в интернациональной системе единиц – кулон, деленный на метр:

3.1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Так как сфера заряжена равномерно, то поверхностная плотность заряда есть постоянная величина:

Пусть радиус сферы нам известен и равен . Тогда из формулы, приведенной выше, можно легко выразить общий заряд всей сферы:

Будем считать,что сфера заряжена положительно. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности сферы поле, создаваемое этими зарядами, обладает сферической симметрией. Поэтому линии электрической индукции (и силовые линии напряженности электростатического поля) направлены радиально от сферы (рис.4).

Рис.4

В соответствии с приведенным выше алгоритмом применения теоремы Остроградского-Гаусса выполним следующие действия:

1. Выберем произвольную точку А , расположенную на расстоянии от центра сферы и определим напряженность электростатического поля в этой точке;

2. Проведем через точку замкнутую поверхность . Учитывая сферическую симметрию задачи, удобно построить сферу радиусом с центром, точке, где находится центр заряженной сферы;

3. Считаем поток электрической индукции через поверхность по определению:

так как задача обладает сферической симметрией, то величина вектора электрической индукции в любой точке, находящейся на одинаковом расстоянии от центра заряженной сферы будет постоянна, поэтому мы имеем право вынести эту величину из-под знака интеграла. Кроме того, угол – угол между вектором электрической индукции и вектором нормали к сферической поверхности в любой точке сферическойповерхности, по которой проводится интегрирование, равен нулю.

Интеграл вида равен площади поверхности, по которой проводится интегрирование, поэтому окончательно можно записать:

;

4. Считаем этот же поток, но по теореме Остроградского – Гаусса:

5. Приравниваем полученные в пунктах 3 и 4 результаты:

Или ,

и находим величину электрической индукции в точке А :

Или

6. Определяем напряженность электростатического поля в точке :

или

Замечания:

1) Если точка А находится внутри заряженной сферы, то есть , тоэлектрическая индукция и напряженность электростатического поля в такой точке тождественно равны нулю и так как внутри заряженной сферы зарядов нет и поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность, расположенную внутри заряженной сферы будет равен нулю . Другими словами – внутри заряженной сферы электрическое пол отсутствует.

2) Если точка А находится на поверхности заряженной сферы, то есть , то электрическая индукция и напряженность электрического поля на поверхности заряженной сферы соответственно равны:

Или

Или

График зависимости напряженности электростатического поля от расстояния до центра сферы (Рис.5):

Рис. 5

3.2. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Пусть имеется равномерно заряженная бесконечная плоскость с постоянной поверхностной плотностью заряда (рис.6).

Рис. 6

Будем считать плоскость бесконечной, если расстояние от плоскости до точки, где определяется , много меньше линейных размеров плоскости. Линии электрического смещения , так же как и силовые линии вектора в этом случае направлены перпендикулярно плоскости и идут симметрично в обе стороны

Будем использовать теорему Остроградского-Гаусса по известному алгоритму:

1. Выберем точку на расстоянии от плоскости.

2. Проведём через эту точку замкнутую поверхность в виде цилиндра, ось которого перпендикулярна заряженной поверхности. Точка лежит на основании цилиндра.

3. Вычислим поток индукции через построенную цилиндрическую поверхность по определению.

,

где – поток индукции через боковую поверхность цилиндра, – поток индукции через основание цилиндра.

Поток индукции через боковую поверхность равен нулю, так как угол между нормалью к боковой поверхности и вектором индукции равен . Поток через основание цилиндра:

4. Вычислим поток индукции по теореме Остроградского–Гаусса.

,

где – электрический заряд, находящийся внутри построенной нами замкнутой поверхности – цилиндра.

5. Приравняем результаты, полученные в пунктах 3 и 4, и найдём :

, отсюда

6. Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

.

Рис. 7

Таким образом, индукция и напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависят от расстояния до плоскости и постоянны в любой точке поля: поле заряженной поверхности однородно. Для отрицательно заряженной поверхности результат будет таким же, только направление векторов и изменится на обратное. График зависимости для такого поля показан на рис. 7.

Из этих формул видно, что электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным и не зависит от расстояния.

Используя принцип суперпозиций для электростатического поля, легко можно получить выражения для напряженности и электрической индукции электрического поля плоского конденсатора:

Заключение

Теорема Остроградского-Гаусса была выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него Гаусс получил эту теорему применительно к электростатическому полю.

При доказательстве этой теоремы Гаусс опирался на закон Кулона и поэтому теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля есть следствие закона Кулона.

По своей сути теорема Гаусса математически выражает тот факт, что именно электрические заряды и есть источники электростатического поля, поэтому теорема Гаусса является основной теоремой электростатики.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА № 1. Двум изолированным металлическим концентрически расположенным сферам радиусами 5 сантиметров и 10 сантиметров сообщены соответственно заряды 10 нанокулон и 20 нанокулон . Пространство между сферами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Определить напряженность электростатического поля и величину электрической индукции на расстоянии 2 сантиметра, 7 сантиметров и 12 сантиметров от центра обеих сфер.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: данная задача решается с использованием теоремы Остроградского-Гаусса. Найдем электрическую индукцию и напряженность электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 2 сантиметра от общего центра данных сфер, для этого построим сферическую поверхность радиусом 2 сантиметра, центр которой совпадает с центром металлических сфер. После этого найдем поток электрической индукции через эту сферическую поверхность двумя способами – по теореме Остроградского-Гаусса и по определению потока электрической индукции . Первый способ дает тривиальное значение – поток электрической индукции должен быть равен нулю – , так как внутри сферической поверхности радиуса 2 сантиметра нет никакого электрического заряда. Второй способ дает следующий результат:

,

так как угол в любой точке сферической поверхности, через которую мы ищем поток электрической индукции. Кроме того, здесь мы учли, что интеграл по замкнутой поверхности равен площади сферической поверхности радиусом 2 сантиметра.

Приравняем два полученных результата: . Отсюда следует, что электрическая индукция равна нулю на расстоянии 2 сантиметра от центра металлических сфер и вообще в любой точке, находящейся внутри обеих сфер .Найдем теперь напряженность электростатического поля. Для этого используем определение электрической индукции . Из этого равенства следует, что . Таким образом, напряженность электростатического поля так же будет равна нулю на расстоянии 2 сантиметра от центра сфер и в любой точке внутри металлических заряженных сфер .

Перейдем к точке, находящейся между заряженными металлическими сферами на расстоянии 7 сантиметров от их общего центра. Будем действовать по тому же алгоритму. Сначала проведем сферическую поверхность радиуса 7 сантиметров, центр которой совпадает с центром металлических сфер. Затем посчитаем поток электрической индукции через эту поверхность двумя способами. Из теоремы Остроградского-Гаусса следует, что . Использование определения потока электрической индукции дает другой результат:

.

Здесь мы учли те же соображения, что были использованы в первом случае:

и

Приравняв эти выражения, получим:

.

Таким образом, электрическая индукция в точке, находящейся между заряженными сферами на расстоянии 7 сантиметров от их общего центра, зависит только от заряда внутренней сферы , внешняя сфера никак не влияет на электрическое поле, которое существует внутри нее.

Напряженность электростатического поля в интересующей нас точке будет равна

,

где – диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего пространство между заряженными сферами.

Проверим размерность полученных рабочих формул:

и

Размерность соответствует действительности, поэтому можно приступать к вычислению конечного результата:

,

Переходим к третьему этапу задачи. Для того чтобы найти значение электрической индукции и напряженности электростатического поля вне обеих заряженных сфер в точке, находящейся на расстоянии 12 сантиметров от их общего центра, проведем сферическую поверхность радиусом 12 сантиметров, центр которой совпадает с центром заряженных сфер.

Определим поток электрической индукции через эту поверхность двумя способами. Теорема Остроградского-Гаусса дает следующий результат:

Определение потока электрической индукции приводит к другому результату:

Левые части этих двух равенств одинаковы, значит, правые части этих равенств должны быть равны между собой, то есть: .

Выразим искомые величины:

и

Таким образом, в создании электрического поля вне заряженных сфер участвуют обе сферы. Так как пространство, окружающее внешнюю заряженную сферу, ничем не заполнено (является вакуумом), то .

Размерность этих формул можно не проверять, так как эта операция уже была проведена выше.

,

Знак минус дает нам информацию о направлении вектора электрической индукции и вектора напряженности электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 12 сантиметров от центра заряженных сфер. Действительно, в любой точке, лежащей вне заряженных сфер, вектор индукции и вектор напряженности электростатического поля будет направлен радиально к внешней заряженной сфере.

ЗАДАЧА № 2. Две бесконечно протяженные равномерно заряженные пластины находятся на некотором расстоянии друг от друга. Напряженность электростатического поля между пластинами 3000 вольт на метр, а вне пластин – 1000 вольт на метр. Найти поверхностную плотность заряда на каждой пластине.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: при решении данной задачи мы воспользуемся результатами применения теоремы Остроградского-Гаусса для расчета напряженности и электрической индукции электростатического поля, создаваемой бесконечной равномерно заряженной плоскостью. Оказывается электростатическое поле, существующее около такой плоскости, является по своему характеру однородным, силовые линии такого электростатического поля направлены перпендикулярно плоскости. Если заряд на плоскости положительный, то силовые линии направлены от плоскости в обе стороны, если же заряд на плоскости отрицательный, то силовые линии направлены по обе стороны к плоскости. Величина напряженности в любой точке пространства около бесконечной равномерно заряженной плоскости равна .

Тот факт, что напряженность электростатического поля между пластинами больше, чем напряженность поля вне пластин говорит о том, что пластины заряжены разноименными зарядами – одна положительно, другая– отрицательно. Так как вне пластин вектора направлены в противоположные стороны , а между пластинами – в одну сторону, то есть .

Рис. 2

Если пластины зарядить одноименными зарядами, допустим положительно, будет, наоборот – между пластинами напряженность электростатического поля будет меньше, чем напряженность вне пластин, так как

ЗАДАЧА № 3. С какой силой действует электрическое поле плоского конденсатора на находящийся в нем электрический заряд 1 нанокулон ? Найти силу взаимодействия пластин конденсатора. Поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора равна 0,1 нанокулон на квадратный метр, а площадь пластин конденсатора равна 100 квадратных сантиметра.

ДАНО:

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ: электростатическое поле внутри плоского конденсатора складывается из электрического поля, создаваемого положительно заряженной пластиной и отрицательно заряженной пластиной. Напряженность результирующего поля будет равна векторной сумме напряженностей электрического поля, создаваемого одной и второй пластиной:

Величина напряженности бесконечной равномерно заряженной пластины может быть найдена с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Как известно, ее величина равна:

Суммируя все вышесказанное, можно найти напряженность электростатического поля внутри плоского конденсатора :

Этот результат говорит нам о том, что электрическое поле внутри плоского конденсатора является однородным.

Если поместить внутрь плоского конденсатора заряженную частицу, то она будет находиться в электростатическом поле, которое будет действовать на нее с определенной силой:

Проверим размерность полученной рабочей формулы:

Размерность правильная, так как сила действительно измеряется в ньютонах.

Математические вычисления дают следующий результат:

Силу взаимодействия, а именно силу притяжения пластин плоского конденсатора, можно найти следующим образом: рассмотрим одну заряженную пластину конденсатора, находящуюся в электростатическом поле, создаваемом другой заряженной пластиной. Величина заряда всей пластины конденсатора равна , где – площадь одной пластины плоского конденсатора. Напряженность электростатического поля, в котором находится эта пластина конденсатора, равна . Следовательно, сила, которая будет действовать на одну пластину конденсатора со стороны электростатического поля, создаваемого другой пластиной, будет описываться следующей формулой:

Итак, мы ответили на второй вопрос задачи – нашли силу взаимодействия (силу, с которой притягиваются) пластины плоского конденсатора.

Проверим размерность этой формулы:

Размерность соответствует действительности, приступим к математическим вычислениям: